\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Es sei $F$ eine linear homogene (makroökonomische) Produktionsfunktion $$Y = F(K, L)$$ wobei $K$ den Faktor Kapital und $L$ die Arbeit notiert.

Dann gilt $${Y\over L} = {1\over L} F(K, L) = F({K\over L}, 1)$$ Setzt man $$\begin{matrix} y:= &{Y\over L} &&\hbox{Arbeitsproduktivität}\cr &&&\hbox{(Ausbringung je Beschäftigten)}\cr \cr k:= &{K\over L} &&\hbox{Kapitalintensität}\cr &&&\hbox{(Kapitalausstattung je Beschäftigten)}\cr \cr f\left({K\over L}\right): = &F\left({K\over L}, 1\right) &&\cr \cr y= &f(k) &&\end{matrix}$$ Bei linear homogenen Funktionen ist die Arbeitsproduktivität eine Funktion der Kapitalintensität. $f(k)$ heißt auch \underbar{Pro-Kopf-Produktionsfunktion}

Definieren wir Kapitalproduktivität $$\overline{y}:= {Y\over K}$$ Dann gilt $$\overline{y} = {Y \over K} \cdot {L \over L} = {Y \cdot L \over L \cdot K} = \underbrace{Y\over L}_{y = f(k)} : {1 \over {K \over L}} = f(k) / \underbrace{K\over L}_{k} = {f(k) \over k}$$ Bei linear homogenen Produktionsfunktionen ergibt sich die Kapitalproduktivität durch die Pro-Kopf-Produktionsfunktion $f(k)$ dividiert durch Kapitalintensität $k$.

Damit sind Arbeitsproduktivität und Kapitalproduktivität Funktionen einer Variablen, nämlich der Kapitalintensität.

Für den makroökonomischen Output gilt: $$Y = L \cdot f(k)$$ Wir wollen Grenzproduktivität der Arbeit ${\partial Y\over \partial L}$ und die Grenzproduktivität des Kapitals ${\partial Y\over \partial K}$ als Funktion der Kapitalintensität bestimmen. Dazu beginnen wir mit \begin{eqnarray} \label{eq:60}{\partial k\over \partial K} &=& {\partial ({K\over L}) \over \partial K}= {1\over L}\\ \label{eq:61}{\partial k\over \partial L} &=& {\partial ({K\over L}) \over \partial L} = - {K\over L^2} \end{eqnarray} Für die Grenzproduktivität des Kapitals ergibt sich: \begin{eqnarray*} {\partial Y\over \partial K} &= &{\partial (Lf(k)) \over \partial K} = L {\partial f(k)\over \partial K}\\ &= &L {\partial f(k)\over \partial k} \cdot {\partial k\over \partial K}\\ &\buildrel \text{\eqref{eq:60}} \over =& L {\partial f(k)\over \partial k} \cdot {1\over L}\\ &= &{\partial f(k)\over \partial k} \end{eqnarray*} Die Berechnung der Grenzproduktivität der Arbeit liefert: \begin{eqnarray*} {\partial Y\over \partial L} &= &{\partial (Lf(k)) \over \partial L} \\ &= &1\cdot f(k)+ L\cdot {\partial f(k)\over \partial L}\\ &= &f(k)+ L{\partial f(k)\over \partial k} \cdot {\partial k\over \partial L}\\ &\buildrel \text{\eqref{eq:61}} \over =& f(k) + L{\partial f(k)\over \partial k} {-K\over L^2}\\ &= &f(k) - k{\partial f(k)\over \partial k} \end{eqnarray*} Damit wurde gezeigt, dass die Grenzproduktivität der Arbeit ${\partial Y\over \partial L}$ und die Grenzproduktivität des Kapitals ${\partial Y\over \partial K}$ bei einer linear homogenen makroökonomischen Produktionsfunktion nur von $k$ (der Kapitalintensität) abhängen. Diese Tatsache wird in der makroökonomischen Theorie intensiv genutzt.