\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
- Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (bzw. -Nutzenfunktion)
$$f(x_1,x_2) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}$$
Es gilt
$$f(\lambda x_1, \lambda x_2) = (\lambda x_1)^{\alpha_1} (\lambda
x_2)^{\alpha_2} = \lambda^{\alpha_1} x_1^{\alpha_1}
\lambda^{\alpha_2} x_2^{\alpha_2} = \lambda^{(\alpha_1 + \alpha_2)}
f(x_1,x_2)$$
Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (bzw. -Nutzenfunktion) ist
homogen vom Grade \linebreak $\alpha_1 + \alpha_2$.
- Die CES-Produktionsfunktion
$$f(x_1, x_2) = \left(a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho}\right)^\frac{1}{ \rho}$$
Es gilt
\begin{eqnarray*}
f(\lambda x_1, \lambda x_2) &=& \left( a_1(\lambda x_1)^{\rho} + a_2
(\lambda x_2)^{\rho}\right)^\frac{1}{ \rho} = \left( a_1
\lambda^{\rho} x_1^{\rho} + a_2 \lambda^{\rho}
x_2^{\rho}\right)^\frac{1}{ \rho}\\
&=& (\lambda^\rho)^\frac{1}{ \rho} \left( a_1x_1^{\rho} +
a_2x_2^{\rho}\right)^\frac{1}{ \rho} = \lambda^1 f(x_1,x_2)
\end{eqnarray*}
Die CES-Funktion ist homogen vom Grade 1.