Lösung
{a.}Wir betrachten die Funktion
$F_1(\lambda) = f(\lambda \vec{x})$ und differenzieren nach $x_i$:
$\frac{\partial F_1}{\partial x_i} = \frac{\partial f(\lambda \vec{x})}{ \partial x_i} \cdot \lambda$
und die Funktion
$F_2(\lambda) = \lambda^r f(\vec{x})$ und differenzieren wieder nach $x_i$:
$\frac{\partial F_2}{\partial x_i} = \lambda^r \frac{\partial f(\vec{x})}{\partial x_i}.$
Also gilt $$\frac{\partial f (\lambda\vec{x})}{\partial x_i} = \lambda^{r-1} \ \frac{\partial f(\vec{x})}{ \partial x_i}$$ und damit die Behauptung.
{b.}Es sei $f(\vec{x})$ homogen vom Grade $r$ und $g(\vec{x})$ homogen vom Grade s.
Dann gilt $$f(\lambda \vec{x}) \cdot g(\lambda\vec{x}) = \lambda^r f(\vec{x}) \cdot \lambda^s g(\vec{x}) = \lambda^{r+s} f(\vec{x}) \cdot g(\vec{x})$$
Damit ist die Behauptung gezeigt.