\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Definition und Beispiele

Definition

Eine Funktion $f(\vec{x})$ heißt homogen vom Grade $r$, wenn für jede reelle Zahl $\lambda$ gilt $$f(\lambda\vec{x}) = \lambda^r f(\vec{x}).$$ Eine Funktion, die homogen vom Grade 1 ist, heißt linear homogen.

(Vgl. \cite[S. 410]{Chiang:1988})
Ist eine Produktionsfunktion linear homogen, so besitzt sie konstante Skalenerträge.

Eine homogene Produktionsfunktion mit Homogenitätsgrad $r>1$ besitzt zunehmende Skalenerträge, da für $\lambda > 1$: \[f(\lambda\vec{x}) = \lambda^r f(\vec{x}) > \lambda f(\vec{x})\] Eine homogene Produktionsfunktion mit Homogenitätsgrad $r<1$ besitzt abnehmende Skalenerträge, da für $\lambda > 1$: \[f(\lambda\vec{x}) = \lambda^r f(\vec{x}) < \lambda f(\vec{x})\]

Die zur Cobb-Douglas-Nutzenfunktion $U(x_1, x_2) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}$ gehörige Nachfragefunktion % $$x_i(p_1,p_2, E) = \frac{\alpha_i E}{ p_1(\alpha_1 + \alpha_2)}$$ % ist homogen vom Grade $0$ in Preisen und Einkommen.