\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Satz:[Euler-Theorem]

Für eine differenzierbare linear homogene Funktion gilt das so genannte Euler-Theorem $$f(\vec{x}) = \sum\limits_{i=1}^n \ \frac{\partial f(\vec{x})}{ \partial x_i}x_i$$ wobei $\vec{x}^T = (x_1, \ldots, x_n)$
Beweis:

Da die Funktion $f$ eine linear homogene Funktion ist, gilt: $f(\lambda\vec{x}) = \lambda f(\vec{x})$. \begin{equation}\label{eq:59} \left.\begin{aligned} F(\lambda )&:= f(\lambda \vec{x}) \quad &\Rightarrow \quad &\frac{dF}{ d\lambda} \quad& =& \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(\lambda \vec{x})}{ \partial (\lambda x_i)} \cdot x_i\\ F(\lambda ) &= \lambda f(\vec{x}) \quad &\Rightarrow \quad &\frac{dF}{ d\lambda} &=& f(\vec{x}) \end{aligned}\right\} \begin{aligned} f(\vec{x}) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(\lambda \vec{x})}{ \partial (\lambda x_i)} \cdot x_i \end{aligned} \end{equation} Diese Gleichung gilt für alle $\lambda \in \mathcal{R}$, also auch für $\lambda = 1$ und dann ergibt sich: $$f(\vec{x}) = \sum \ \frac{\partial f(\vec{x})}{ \partial x_i} \cdot x_i$$
Bemerkung:

Die Aussage des Satz Euler-Theorem kann umgekehrt werden und lautet dann: Eine differenzierbare Funktion ist genau dann linear homogen, wenn das Euler-Theorem gilt.

Sei
  $f(\vec{x})$   linear homogene Produktionsfunktion
$$p$$ Absatzpreis des produzierten Gutes
$x_i$ Faktormenge des $i$-ten Faktors
$q_i$ der Preis des Faktors $i$

Wir gehen aus von der Wertgrenzproduktregel (Vgl. Die Unternehmung unter Konkurrenz oder reiss:2007 S. 349ff): $$p\frac{\partial f}{ \partial x_i} = q_i \qquad\hbox{also}\qquad \frac{\partial f}{ \partial x_i} = {q_i\over p}$$ Dann ergibt sich als Euler-Theorem \begin{eqnarray} \nonumber f(\vec{x}) &= &\sum\limits_{i=1}^n \ \frac{q_i}{ p} \cdot x_i\\ \label{eq:58}\underbrace{p f(\vec{x})}_{\hbox{Erlös}} &= &\underbrace{\sum q_i \cdot x_i}_{\hbox{Kosten}} \end{eqnarray} Bei linear homogenen (und nur bei linear homogenen) Produktionsfunktionen ist der Erlös gleich den Kosten. Also wenn jeder Faktor mit seinem Wertgrenzprodukt bezahlt wird, wird der Erlös vollständig auf die Faktorentgelte verteilt. Darum spricht man bei \eqref{eq:58} auch von dem Ausschöpfungstheorem (Adding-up-Theorem).