Satz:[Euler-Theorem]
Für eine differenzierbare linear
homogene Funktion gilt das so genannte Euler-Theorem
$$f(\vec{x}) = \sum\limits_{i=1}^n \ \frac{\partial f(\vec{x})}{ \partial x_i}x_i$$
wobei $\vec{x}^T = (x_1, \ldots, x_n)$
Beweis:
Da die Funktion $f$ eine linear homogene Funktion ist, gilt:
$f(\lambda\vec{x}) = \lambda f(\vec{x})$.
\begin{equation}\label{eq:59} \left.\begin{aligned}
F(\lambda )&:= f(\lambda \vec{x}) \quad &\Rightarrow \quad
&\frac{dF}{ d\lambda} \quad&
=& \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(\lambda \vec{x})}{ \partial (\lambda x_i)} \cdot x_i\\
F(\lambda ) &= \lambda f(\vec{x}) \quad &\Rightarrow \quad
&\frac{dF}{ d\lambda} &=& f(\vec{x})
\end{aligned}\right\}
\begin{aligned} f(\vec{x})
= \sum_{i=1}^{n}
\frac{\partial f(\lambda \vec{x})}{ \partial (\lambda x_i)} \cdot x_i
\end{aligned}
\end{equation}
Diese Gleichung gilt für alle $\lambda \in
\mathcal{R}$, also auch für $\lambda = 1$ und dann ergibt sich:
$$f(\vec{x}) = \sum \ \frac{\partial f(\vec{x})}{ \partial x_i} \cdot x_i$$