Auf einem beliebigen Fahrstrahl durch den Ursprung ist die
Substitutionsrate konstant (homogene Funktion). Auf der
45$^{\circ}$-Achse ist die Substitutionsrate $= - {a_1 \over
a_2}$. Ist $a_1 = a_2$, so ist die Substitutionsrate auf der
45$^{\circ}$-Achse = $- 1$.
Der Expansionspfad ergibt sich für gegebene Faktorpreise $\vec w=w_1,w_2$
aus der Optimierungsbedingung:
\begin{equation}{dx_2 \over dx_1} =
-{\partial f /\partial x_1 \over \partial f /\partial x_2} =
{a_1x_2\over a_2x_1}= {w_1\over w_2}\end{equation}
Daraus ergibt
sich:
\begin{equation}x_2={a_2w_1\over a_1w_2} x_1\end{equation}
Die Expansionspfade sind (wie bei jeder homogenen Funktion) Geraden.
Die bedingte Faktornachfragefunktionen
Der Schnittpunkt von Expansionpfad und Isoquante liefert die
bedinget Faktornachfrage, also setzen wir die Expansionspfad in
die Produktionsfunktion ein, so ergibt sich:
\begin{equation}y=x_1^{ra_1}\cdot \left({a_2w_1\over a_1w_2}x_1\right)^{ra_2}
=x_1^{r(a_1+a_2)}\cdot \left({a_2w_1\over a_1w_2}\right)^{ra_2}
\end{equation}
\begin{equation}x_1= \left({a_1w_2\over a_2w_1}\right)^{a_2}\cdot y^{(1/r)} \end{equation}
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