Für ein konstantes $y$ bestimmen wir die explizite Gleichung einer Isoquante für fest-vorgegebenes \(y\): \begin{equation}y = ({a_1 x_1}^\rho + {a_2 x_2}^\rho)^{r \over \rho}\end{equation} \begin{equation}y^{\rho \over r} = {a_1 x_1}^{\rho} + {a_2 x_2}^{\rho}\end{equation} \begin{equation}y^{\rho \over r}- {a_1 x_1}^{\rho} = {a_2 x_2}^{\rho}\end{equation} \begin{equation}x_2 = {(y^{\rho \over r}- {a_1 x_1}^{\rho})^{1 \over \rho} \over {a_2}^{1 \over \rho}}\end{equation} Für $\rho>0$ schneiden die Isoquanten die Achsen. Der Schnittpunkt z.B. mit der $x_2$-Achse wird dadurch bestimmt, dass in der Produktionsfunktion (bzw. in der Isoquantengleichung) $x_1$ Null gesetzt wird. Es ergibt sich als Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse:
\begin{equation}\label{CES_13}y^{\rho \over r} - {a_2 x_2}^\rho =0\end{equation} \begin{equation}\label{CES_14}y = {({a_2 x_2}^\rho)}^{r \over \rho}\end{equation} \begin{equation}\label{CES_15}y = {a_2}^{r \over \rho} {x_2}^r\end{equation} \begin{equation}\label{CES_16}x_2 = \left({y \over {a_2}^{r \over \rho}}\right)^{1 \over r} = {y^\frac{1}{r} \over a_2^\frac{1}{\rho}} \end{equation} Schnittpunkt mit der $x_1$-Achse \begin{equation}\label{CES_17}x_1 = \left({y \over {a_1}^{r \over \rho}}\right)^{1 \over r} = {y^\frac{1}{r} \over a_1^\frac{1}{\rho}} \end{equation} Je kleiner $\rho$ umso weiter entfernt vom Nullpunkt liegt der Schnittpunkt für gegebenes y. Für $\rho \longrightarrow 0$ könnten sich Isoquanten ergeben, die der Cobb-Douglas Funktion ähneln.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse für $a_2=0,5 $ , $y=1$ und $\rho= 0,5$ und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Abbildung.

Diagramm der CES-Funktion für $a_1=a_2=0,5$