Bestimmung der bedingten Nachfragefunktion durch Einsetzen des Expansionspfades in die
Produktionsfunktion
\begin{equation}\label{CES_31}y = \left(a_1x_1^{\rho} + a_2\left(\left({w_2a_1\over
w_1a_2}\right)^{1/\rho-1} \cdot x_1\right)^{\rho}\right)^{r/\rho}\end{equation}
\begin{equation}y^{\rho \over r} = a_1x_1^{\rho} + a_2\left(\left({w_2a_1\over
w_1a_2}\right)^{1/\rho-1} \cdot x_1\right)^{\rho}
= a_1x_1^{\rho} + a_2 \cdot \left({w_2a_1\over
w_1a_2}\right)^{\rho/\rho-1} \cdot {x_1}^{\rho}\end{equation}
Damit ergibt sich für die bedingte Faktornachfrage:
\begin{equation}\label{CES_34}{x_1}^{\rho}
%%= {y^{\rho \over r} \over a_1 + a_2 \cdot \left({w_2a_1\over w_1a_2}\right)^{\rho/\rho-1}}
= y^{\rho \over r} \cdot\left( {a_1 + a_2 \cdot \left({w_2a_1\over w_1a_2}\right)^{\rho/\rho-1}}\right)^{-1}
\end{equation}
\begin{equation}\label{CES_35}x_1
%%= {y^{1 \over r} \over \left( {a_1 + a_2 \cdot \left({w_2a_1\over w_1a_2}\right)^{\rho/\rho-1}}\right)^{1 \over \rho}}
= {y^{1 \over r} \cdot \left( {a_1 + a_2 \cdot \left({w_2a_1\over w_1a_2}\right)^{\rho/\rho-1}}\right)^{-{1 \over \rho}}}
\end{equation}
Das ist die bedingte Nachfragefunktion nach Faktor 1. Die Formel
kann durch eine so umgestellt werden, dass die Klammer symmetrisch ist.
Mit Hilfe der Nebenrechnung ergibt sich für die bedingte Faktornachfrage:
\begin{equation}\label{CES_37}x_1\!
=\! \left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho-1}
\!\left(\underbrace{w_1\left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho-1} +
w_2\left(\frac{w_2}{a_2}\right)^\frac{1}{\rho-1}}_{\hbox{$=: K$}}
\right)^{-\frac{1}{\rho}}\!\!\!\!\! y^\frac{1}{r}
= \left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho-1} \! K^{-\frac{1}{\rho}} \cdot y^\frac{1}{r}
\end{equation}
und entsprechend für den zweiten Faktor
\begin{equation}\label{CES_38}x_2 \!=\! \left(\frac{w_2}{a_2}\right)^\frac{1}{\rho-1}
\! \left(\underbrace{w_1\left(\frac{w_1}{a_1}\right)^\frac{1}{\rho-1} +
w_2\left(\frac{w_2}{a_2}\right)^\frac{1}{\rho-1}}_{\hbox{$=: K$}}
\right)^{-\frac{1}{\rho}}\!\!\!\!\! y^\frac{1}{r}
= \left(\frac{w_2}{a_2}\right)^\frac{1}{\rho-1} \! K^{-\frac{1}{\rho}} \cdot y^\frac{1}{r}
\end{equation}