Die CES-Funktion

Die CES-Funktion ist definiert durch \begin{equation}\label{CES_1} y = A \cdot \left( a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho} \right)^{r \over \rho}\ \qquad\mbox{mit } a_1+a_2=1 \qquad, r>0 \qquad\mbox{und } -\infty\le\rho\le 1 \end{equation}

Durch Normierung bzw. Substitution $y \stackrel{ \rm def}{=} {y\over A}$ kann erreicht werden, dass gilt \begin{equation}\label{CES_2}y = \left( a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{r}{\rho}}\end{equation}

Hinweis 1
Der Name Constant Elasticity of Substitution Funktion rührt daher, dass die sogenannte Substitutionselastizität $\sigma$ für diese Funktionen bei gegegebenem $\rho$ den konstanten Wert $\sigma= \frac{1}{1-\rho} $ annimmt. Das wird später gezeigt werden.

Hinweis 2
Ursprünglich war die Funktion mit $r=1$ als $y = \left( a_1x_1^{\rho} + a_2x_2^{\rho}\right)^{\frac{1}{\rho}}$ definiert. Dieser Spezialfall heißt hier spezielle CES-Funktion. Die Bedeutung des Parameters $r$ wird später untersucht.

Hinweis 3
Häufig wird die CES-Funktion folgendermaßen eingeführt. \begin{equation} y = A \cdot \left( a_1x_1^{-\rho} + a_2x_2^{-\rho} \right)^{-{r \over \rho}} \qquad\mbox{mit } a_1+a_2=1 \qquad, r>0 \qquad\mbox{und }-1\le\rho\le \infty \end{equation} Diese Form geht durch Substitution von $-\rho$ für $\rho$ aus obiger Definition hervor, beide Schreibweisen sind also äquivalent. Allerdings führt der Vorzeichenwechsel bei $\rho$ auch zu einem Vorzeichenwechsel bei $\sigma= \frac{1}{1-\rho} $. Darauf sollte man achten.