Wir gehen von der CES-Produktionsfunktion mit $a_1 + a_2 = 1$ aus.
Für $\rho = 0$ ergibt sich der unerklärte Ausdruck $1^ \infty$.
Den Wert dieses Ausdrucks werden wir durch Grenzübergang
bestimmen. Wir benutzen die Regeln von de l'Hospital, nachdem wir
zuerst den Ausdruck $1^ \infty$ durch Logarithmieren auf den besser behandelbaren Fall
${\circ \over \circ}$ zurückgeführt haben. Es gilt
\begin{equation}\label{CES_57}f(x_1,x_2)=\left(a_1x_1^{\rho}+a_2x_2^{\rho}\right)^\frac{r}{\rho}\end{equation}
\begin{equation}\label{CES_58}\ln\ f(x_1,x_2) = {{r\cdot \ln \left( a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho\right)} \over \rho}\end{equation}
Wir wenden die Regel von de l'Hospital
an und bilden dazu die Ableitung vom Zähler
(vgl.
Abschließende Aufgabe zur Ableitung
) und die Ableitung vom Nenner nach $\rho$:
\begin{equation}\label{CES_59}\frac{
\qquad\frac{ r\left( a_1\cdot\ln\ x_1 \cdot x_1^\rho + a_2\cdot
\ln\ x_2 \cdot x_1^\rho\right) }{ a_1x_1^\rho + a_2x_2^\rho
}\qquad }{ 1}
\end{equation}
Für $\rho \rightarrow 0$ geht der Nenner des Zählers(wegen $a_1 + a_2 = 1)$
gegen 1 und der Zähler gegen:
\begin{equation}\label{CES_60} r(a_1 \ln\ x_1 + a_2 \ln\ x_2)\end{equation}
Daraus folgt nach de l'Hospital
\begin{equation}\label{CES_61}\lim_{\rho\to 0} \ln f(x_1,x_2)= r\cdot a_1 \ln x_1 + r\cdot a_2 \ln x_2\end{equation}
und durch Antilogarithmieren:
\begin{equation}
\label{CES_62}
{\lim_{\rho \rightarrow 0}} f(x_1,x_2) = x_1^{ra_1} \cdot x_2^{ra_2}
\end{equation}
Ergebnis
Für $\rho = 0$ ist die CES-Produktionsfunktion mit Homogenitätsgrad r im Grenzübergang
gleich der Cobb-Douglas-Funktion mit Homogenitätsgrad r.