a. \begin{eqnarray*} {\partial f\over \partial x_1}\hfill &= &2x_1 \hfill \buildrel \rm ! \over = 0 \Rightarrow x_1 = 0\\ {\partial f\over \partial x_2}\hfill &= &2x_2 \hfill \buildrel \rm ! \over = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \end{eqnarray*} Die Funktion hat bei $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ den einzigen stationären Punkt. b. Schnitte durch den Funktionsverlauf, z.B. für $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_1 = x_2$, $x_1 = -x_2$ ergeben jeweils eine nach oben geöffnete Parabel. Höhenlinien $y = x_1^2 + x_2^2$ mit kostantem $y$ ergeben Kreise. Es handelt sich um einen Drehparaboloiden. Der Punkt $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ ist offensichtlich ein Minimum. c. Es gilt für die bei $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ berechneten zweiten Ableitungen: ${\partial ^2 f\over \partial x_1^2} = 2 \quad {\partial ^2f \over \partial x_2^2} = 2$ |
Verlauf der Funktion $f(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2^2$ |
Mit Hilfe der ersten Ableitung werden die stationären Punkte ermittelt: \begin{eqnarray*} {\partial f\over \partial x_1}\hfill &= &2x_1 \hfill \buildrel \rm ! \over = 0 \Rightarrow x_1 = 0\\ {\partial f\over \partial x_2}\hfill &= &2x_2 \hfill \buildrel \rm ! \over = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \end{eqnarray*} Die Funktion hat bei $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ den einzigen stationären Punkt. Der Vermutung nach wird nun die hinreichende Bedingung anhand der zweiten Ableitung geprüft. Es gilt für die bei $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ berechneten zweiten Ableitungen: $${\partial ^2 f\over \partial x_1^2} = 2 \quad {\partial ^2f \over \partial x_2^2} = 2$$ Es kann bei der Funktion auf ein Minimum im stationären Punkt $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ geschlossen werden. Die nebenstehenden Abbildung bestätigt dieses Ergebnis. |
Verlauf der Funktion $f(x_1,x_2) = x_1^2 + x_2^2$ |
Parabel 4.Grades |
Verlauf der Funktion $f(x_1,x_2) = x_1^4 - 3x_1^2x_2^2 + x_2^4 $ |