Betrachten Sie die Funktion $$f(x) = ax^{4} \hbox{ für }a\ne 0$$
  1. Bestimmen Sie den stationären Punkt.
  2. Bestimmen Sie grafisch die Art des stationären Punkts.
  3. Bestimmen Sie formal die Art des stationären Punkts. Was fällt auf?

a. Es ist $$f'(x) = 4\cdot ax^{3}\buildrel \rm !\over = 0 $$ Daraus ergibt sich $$x=0$$ Der einzige stationäre Punkt ist bei $x=0$.

b. In nebenstehender Abbildung kann man sich zeigen lassen:
Für $a<0$ ist die Lösung ein Maximum und für $a>0$ ein Minimum.

   
c. Es ist $$f''(x) = 12\cdot ax^{2} $$ $$f'''(x) = 24\cdot ax $$ $$f''''(x) = 24\cdot a $$


Verlauf der Funktion für unterschiedliche Werte von a
Im stationären Punkt $x=0$ ist die zweite Ableitung null. Damit kann die zweite Ableitung in diesem Fall nicht als Kriterium für die Art des stationären Punktes genutzt werden.

Aus der Abbildung kann auch eine gewisse Plausibilität für dieses Ergebnis heraus gelesen werden:
Die zweite Ableitung gibt die Krümmung einer Funktion wieder. Die Funktion ist aber am Punkt $x=0$ nicht gekrümmt. Die Entwicklung der Funktion wird offensichtlich durch Einflüsse bewirkt, die weder mit Hilfe der ersten noch der zweiten Ableitung beschrieben werden können.