a. $$f´(x) = 3x^{2} - a \buildrel \rm !\over = 0$$ $$x^{2} = + {a\over 3}$$ Fallunterscheidung \begin{eqnarray*} a < 0 &:& \hbox{keine (reelle) Lösung}\\ a=0 &:& x= 0\hfill\\ a>0 &:& x= \pm \sqrt{{a\over 3}}\end{eqnarray*}

Verlauf der Funktion für unterschiedliche Werte von a

b. Wie die Aufgabe und die zugehörige Abbildung zeigt, kann eine Funktion keinen, einen oder mehrere stationäre Punkte besitzen. Bei der vorliegenden Funktion gibt es für $a<0$ keinen stationären Punkt. Für $a= 0$ ist der stationäre Punkt ein Wendepunkt. Für $a>0$ ist der stationäre Punkt für negatives $x = - \sqrt{{a\over 3}}$ ein Maximum und für $x = + \sqrt{{a\over 3}}$ ein Minimum. c. Ob ein stationärer Punkt Maximum oder Minimum ist, wird mit Hilfe der zweiten Ableitung bestimmt. Ist ${d^{2}f \over dx^{2}} < 0$, so handelt es sich um ein Maximum; ist ${d^{2}f \over dx^{2}} > 0$, so handelt es sich um ein Minimum. Ist ${d^{2}f \over dx^{2}} = 0$, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Somit legt dieses Ergebnis die Vermutung nahe, dass ein Punkt, an dem $f'=0$ und $f''=0$ gilt, ein Wendepunkt ist. Die nächste Aufgabe zeigt, dass die Verhältnisse so einfach nicht sind.