Die Preis-Absatzfunktion eines Monopolisten lautet: $p=10 - x$ ($p:=$ Absatzpreis, $x:=$ Absatzmenge). Der Monopolist erzeugt seinen Output in zwei Betrieben. Die betrieblichen Kostenfunktionen sind $C_1 = x_1^2$ und $C_2 = 2x_2^2$ ($C_1$, $C_2 :=$ Kostensummen, $x_1$, $x_2:=$ Ausbringungen der Betriebe).

  1. Stellen Sie Bedingungen erster Ordnung für ein Gewinnmaximum des Monopolisten auf und ermitteln Sie die implizierten Produktionsmengen $x_1$ und $x_2$.
  2. Bestätigen Sie anhand der Bedingungen zweiter Ordnung, dass die ermittelten Produktionsmengen tatsächlich zu einem Gewinnmaximum (und nicht etwa zu einem Minimum des Gewinns) führen.

  1. \begin{eqnarray*} E &= &p\cdot x = (10 - x)\cdot x = 10 x-x^2\\ \\ G &= &10(x_1+x_2) - (x_1 + x_2)^2 - x_1^2 - 2x_2^2\\ &= &10 x_1 + 10 x_2 - x_1^2 - 2x_1x_2 - x_2^2 - x_1^2 - 2x_2^2\\ &= &-2x_1^2 - 3x_2^2 - 2x_1x_2 + 10x_1 + 10x_2 \end{eqnarray*} Als Optimumsbedingungen erster Ordnung erhält man: \begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial x_1} &= &-4x_1 - 2x_2 + 10 \buildrel\rm !\over = 0\\ \frac{\partial G}{\partial x_2} &= &-2x_1 - 6x_2 + 10 \buildrel\rm !\over = 0 \end{eqnarray*} Das entsprechende Gleichungssystem lautet: $$\begin{pmatrix}10\cr 10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 &2\cr 2 &6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\displaystyle{x_1\atop x_2}\end{pmatrix}$$ Mit Hilfe der Cramerschen Regel werden als Lösung des obigen Gleichungssystems folgende Produktionsmengen $x_1, x_2$ ermittelt: \begin{eqnarray*} x_1 &= &{\begin{vmatrix}10 &2\cr 10 &6\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\ 4 &2\cr \ 2 &6\end{vmatrix}} = {40\over 20} = 2\\ \\ x_2 &= &{\begin{vmatrix}4 &10\cr 2 &10\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}4 &\ 2\cr 2 &\ 6\end{vmatrix}} = {20\over 20} = 1 \end{eqnarray*}
  2. Zu untersuchen ist die Definitheit der Hesseschen Matrix (vgl. Def. \ref{def:hessematrix}): $$\mathbf{H} =\begin{pmatrix}{\partial^2G\over \partial x_1^2} &&{\partial^2G\over \partial x_1\partial x_2}\cr \cr {\partial G\over \partial x_2\partial x_1} &&{\partial^2G\over \partial x_2^2}\end{pmatrix}$$ $$\begin{matrix} {\partial^2G\over\partial x_1^2} \hfill &= &-4 &&{\partial^2G\over \partial x_2^2}\hfill &= &-6\hfill\cr \cr {\partial^2G\over \partial x_1 \partial x_2} &= &-2 &&{\partial^2 G\over \partial x_2 \partial x_1} &= &-2\hfill\end{matrix}$$ $$\begin{matrix} |\mathbf{H_1}|\hfill &= &-4 < 0 \hfill\cr \cr |\mathbf{H_2}| = |\mathbf{H}| &= &\begin{vmatrix}-4 &-2\cr -2 &-6\end{vmatrix}\hfill\cr \cr &= &(-4)(-6) - (-2)(-2)\hfill\cr\cr &= &24 - 4 = 20 > 0\hfill\end{matrix}$$

    Die Hauptminoren $|\mathbf{H_1}|, |\mathbf{H_2}|$ haben alternierendes Vorzeichen (wobei das erste negativ ist). Die Hessesche Matrix ist negativ definit. Es handelt sich um ein Maximum.