\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \) Ähnliche Bedingungen können bei mehreren Nebenbedingungen abgeleitet werden(vgl. ohse:1995 , S. 312ff). Es sei \begin{alignat*}{5} \max \quad &f(\vec{x}) & \ = \ & f(x_1, \dots , x_n)\\ &g_1(\vec{x}) & \ = \ & 0 \\ & \ \vdots && \vdots \\ &g_m(\vec{x}) & \ = \ & 0 \end{alignat*} ein Optimierungsproblem mit $n$ Variablen und $m Die zu diesem Problem gehörende geränderte Hesse-Matrix ist gegeben durch: $$ \overline{\rm\bf H} = \begin{pmatrix} 0 &\dots &0 &g_{11} &\dots &g_{1n}\\ \vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots\\ 0 &\dots &0 &g_{m1} &\dots &g_{mn}\\ \\ g_{11} &\dots &g_{m1} &f_{11} &\dots &f_{1n}\\ \vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots\\ g_{1n} &\dots &g_{mn} &f_{n1} &\dots &f_{nn} \end{pmatrix}$$ Zu betrachten sind die Hauptminoren der Ordnung größer $2m$. \begin{eqnarray*} |{\rm\bf H}_{2m+1}| &=& \begin{vmatrix}0 &&0 &&g_{11} &&g_{1, m+1}\cr \vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots\cr 0 &&0 &&g_{m1} &&g_{m, m+1}\cr \cr g_{11} &&g_{m1} &&f_{11} &&f_{1, m+1}\cr \vdots && \vdots && \vdots && \vdots \cr g_{1, m+1} &&g_{m, m+1} &&f_{m+1, 1} &&f_{m+1, m+1}\end{vmatrix}\\ \vdots \quad &=& \quad \vdots\\ |\mathbf{H}_{m+n}| &= &|\overline{\mathbf{H}}| \end{eqnarray*}
Satz
Die Funktion $f(x_1, \dots , x_n)$ besitzt unter den Nebenbedingungen $g_i(\vec{x}) = 0 \qquad i = 1, 2, \dots , m$
  1. ein relatives Minimum, falls $$\vert {\rm\bf H}_{2m+1} \vert, \vert {\rm\bf H}_{2m+2}\vert , \dots , \vert {\rm\bf H}_{m+n}\vert $$ alle dasselbe Vorzeichen $(-1)^m$ besitzen.
  2. ein relatives Maximum, falls $$\vert {\rm\bf H}_{2m+1} \vert, \vert {\rm\bf H}_{2m+2}\vert , \dots , \vert {\rm\bf H}_{m+n}\vert $$ im Vorzeichen alternieren, wobei $\vert {\rm\bf H}_{m+n}\vert$ das Vorzeichen $(-1)^n$ besitzt.
  3. kein relatives Extremum, wenn weder 1. noch 2. erfüllt ist.