\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Es sei
\begin{alignat*}{5}
&ZF \quad & f(\underline{x})&\longrightarrow& \hbox{opt} &\qquad
\vec{x}
\in \mathbb R^n\\
&NB \quad & g(\vec{x}) &=& v
\end{alignat*}
Satz
Eine notwendige Bedingung dafür, dass an der Stelle
$\underline{x}^* = (x_1^*, \dots , x_n^*)$ ein Extremum von
$f(\underline{x})$ unter der Nebenbedingung $g(\underline{x}) - v=
0$ vorliegt, ist, dass der Ausdruck
$$L(\underline{x}, \lambda )= f(\underline{x}) + \lambda (v -
g(\underline{x}))$$
stationär wird.
Für hinreichende Bedingungen ist wiederum die geränderte Hessesche
Matrix zu betrachten. Bei $n$ Variablen und einer Nebenbedingung
(Anzahl der Nebenbedingungen $m=1$) erhält man als geränderte
Hesse-Matrix:
$$ \overline{\rm\bf H} \ = \
\begin{pmatrix} 0 &{\partial g\over \partial x_1} &
\dots &{\partial g\over
\partial x_n}\\
\\
{\partial g\over \partial x_1} &{\partial^2f\over \partial x_1^2}
& \dots &{\partial^2f\over \partial x_1\partial x_n}\\
\\
\vdots & \vdots && \vdots &\\
\\
{\partial g\over \partial x_n} &{\partial^2f\over \partial
x_n\partial x_1} & \dots &{\partial^2f\over \partial x_n\partial
x_n}\end{pmatrix}$$
Wir definieren folgende Hauptminoren:
$$| \overline{\rm\bf H}_{2m+1} | = | \overline{\rm\bf H}_3| =
\begin{vmatrix}
0 &{\partial g\over \partial x_1} &{\partial g\over \partial
x_2}\\
\\
{\partial g\over \partial x_1} &{\partial^2f\over
\partial x_1^2} &{\partial^2f\over \partial x_1\partial x_2}\\
\\
{\partial g\over \partial x_2} &{\partial f\over \partial
x_2\partial x_1} &{\partial^2f\over
\partial x_2^2}
\end{vmatrix}$$
$$| \overline{\rm\bf H}_{n+1} | \ = \
\begin{vmatrix}
0 &{\partial g\over \partial x_1} &\dots &{\partial g\over
\partial x_r}\\
\\
{\partial g\over \partial x_1} &{\partial f\over \partial
x_1\partial x_1} & \dots &{\partial^2f\over\partial x_1\partial
x_r}\\
\\
{\partial g\over \partial x_2} &{\partial f\over \partial
x_2\partial x_1} & \dots &{\partial^2 f\over\partial x_2\partial
x_r}\\
\vdots &\vdots & & \vdots \\
{\partial g\over \partial x_r} &{\partial f\over \partial
x_r\partial x_1} & \dots &{\partial^2f\over\partial x_r^2}
\end{vmatrix}$$
$$| \overline{\rm\bf H}_{n+1} | = | \overline{\rm\bf H}|$$
Satz
Ein stationärer Punkt
einer Zielfunktion $f(\vec x)$ unter einer Nebenbedingung $g(\vec x)$ ist ein
Minimum, wenn $\overline{\rm\bf H}$ positiv definit ist, also wenn
gilt:
$$\vert \overline{\rm\bf H}_3 \vert < 0, \dots \qquad \vert
\overline{\rm\bf H}_{n+1} \vert < 0$$
Ein stationärer Punkt ist Maximum, wenn gilt:
$$\vert \overline{\rm\bf H}_3 \vert > 0, \vert \overline{\rm\bf H}_4 \vert < 0,
\vert \overline{\rm\bf H}_5 \vert > 0 \dots (-1)^n \vert
\overline{\rm\bf H}_{n+1} \vert > 0$$