\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \) Es sei \begin{alignat*}{5} &ZF \quad & f(\underline{x})&\longrightarrow& \hbox{opt} &\qquad \vec{x} \in \mathbb R^n\\ &NB \quad & g(\vec{x}) &=& v \end{alignat*}
Satz
Eine notwendige Bedingung dafür, dass an der Stelle $\underline{x}^* = (x_1^*, \dots , x_n^*)$ ein Extremum von $f(\underline{x})$ unter der Nebenbedingung $g(\underline{x}) - v= 0$ vorliegt, ist, dass der Ausdruck $$L(\underline{x}, \lambda )= f(\underline{x}) + \lambda (v - g(\underline{x}))$$ stationär wird.

Für hinreichende Bedingungen ist wiederum die geränderte Hessesche Matrix zu betrachten. Bei $n$ Variablen und einer Nebenbedingung (Anzahl der Nebenbedingungen $m=1$) erhält man als geränderte Hesse-Matrix: $$ \overline{\rm\bf H} \ = \ \begin{pmatrix} 0 &{\partial g\over \partial x_1} & \dots &{\partial g\over \partial x_n}\\ \\ {\partial g\over \partial x_1} &{\partial^2f\over \partial x_1^2} & \dots &{\partial^2f\over \partial x_1\partial x_n}\\ \\ \vdots & \vdots && \vdots &\\ \\ {\partial g\over \partial x_n} &{\partial^2f\over \partial x_n\partial x_1} & \dots &{\partial^2f\over \partial x_n\partial x_n}\end{pmatrix}$$ Wir definieren folgende Hauptminoren: $$| \overline{\rm\bf H}_{2m+1} | = | \overline{\rm\bf H}_3| = \begin{vmatrix} 0 &{\partial g\over \partial x_1} &{\partial g\over \partial x_2}\\ \\ {\partial g\over \partial x_1} &{\partial^2f\over \partial x_1^2} &{\partial^2f\over \partial x_1\partial x_2}\\ \\ {\partial g\over \partial x_2} &{\partial f\over \partial x_2\partial x_1} &{\partial^2f\over \partial x_2^2} \end{vmatrix}$$ $$| \overline{\rm\bf H}_{n+1} | \ = \ \begin{vmatrix} 0 &{\partial g\over \partial x_1} &\dots &{\partial g\over \partial x_r}\\ \\ {\partial g\over \partial x_1} &{\partial f\over \partial x_1\partial x_1} & \dots &{\partial^2f\over\partial x_1\partial x_r}\\ \\ {\partial g\over \partial x_2} &{\partial f\over \partial x_2\partial x_1} & \dots &{\partial^2 f\over\partial x_2\partial x_r}\\ \vdots &\vdots & & \vdots \\ {\partial g\over \partial x_r} &{\partial f\over \partial x_r\partial x_1} & \dots &{\partial^2f\over\partial x_r^2} \end{vmatrix}$$ $$| \overline{\rm\bf H}_{n+1} | = | \overline{\rm\bf H}|$$
Satz
Ein stationärer Punkt einer Zielfunktion $f(\vec x)$ unter einer Nebenbedingung $g(\vec x)$ ist ein Minimum, wenn $\overline{\rm\bf H}$ positiv definit ist, also wenn gilt: $$\vert \overline{\rm\bf H}_3 \vert < 0, \dots \qquad \vert \overline{\rm\bf H}_{n+1} \vert < 0$$ Ein stationärer Punkt ist Maximum, wenn gilt: $$\vert \overline{\rm\bf H}_3 \vert > 0, \vert \overline{\rm\bf H}_4 \vert < 0, \vert \overline{\rm\bf H}_5 \vert > 0 \dots (-1)^n \vert \overline{\rm\bf H}_{n+1} \vert > 0$$