Die Intention der Lagrange-Methode ist, dass die an die Nebenbedingung gebundenen Extrema einer vorgegebenen Zielfunktion $f$ dadurch ermittelt werden, in dem die stationären Punkte einer neu gebildeten Funktion $L$ bestimmt werden. Diese Funktion $L$ besteht setzt aus der Zielfunktion $f$ und den gegebenen Restriktionen, die mit einem Multiplikator $\Lambda_{i}$ multipliziert werden, zusammen.
Annahme: Die Wünsche der Individuen einer Gesellschaft seien in einer gesamtgesellschaftlichen Nutzenfunktion zusammengefasst. Bei zwei Gütern sei somit die gesamtwirtschaftliche Nutzenfunktion gegeben durch $$U = f(x_1, x_2)$$ wobei $f(\underline{x})$ als schwach-monoton quasi-konkav angenommen wird. Das heißt, dass die Niveaumengen konvex, die gesellschaftliche Indifferenzkurven also konvex sind. Zusätzlich sei $f$ zweimal stetig differenzierbar. Die Produktionsmöglichkeiten seien durch eine konvexe Produktionsmenge gegeben. Der Rand dieser Produktionsmenge sei durch eine implizite Funktion*) $g(x_1, x_2) = v$ (die Transformationsfunktion) beschrieben. $$x_1^2 + x_2^2 = v$$ $$x_1^2+ x_2^2 - v = 0$$ Die konkave Transformationsfunktion sei zweimal stetig differenzierbar. $v$ wird im Folgenden zunächst als vorgegebene konstante Größe angesehen und mit in die implizite Funktion einbezogen, also: $$g(x_1, x_2) = 0$$
Zunächst entsteht also ein Problem der Maximierung (bzw. Minimierung) einer Funktion $f(x_{1},x_{2})$, wobei $(x_{1},x_{2}$ so eingeschränkt sind, dass sie einer Gleichung der Form $g(x_1, x_2) = v$ genügen müssen: \begin{equation} \max(\min)f(x_{1},x_{2}) \hbox{ unter der Nebenbedingung } g(x_1, x_2) = v \end{equation}
gesellschaftliche Indifferenzkurven
Produktionsmöglichkeitsfunktion
*) Implizite Funktionen werden u.a. in S. Joseph Leydold , Mathematik für Ökonomen leydold:2003 , S. 155f beschrieben.}