Beispiel
Die Nachfrage nach Gut 1 und Gut 2 für die Nutzenfunktion $U(x_1,x_2) = x_1 \cdot x_2$ soll durch Substitution ermittelt werden. Das Einkommen des betrachteten Individuums sei $E=10$ und die Marktpreise $p_1 = 2$, $p_2 = 1$ sind. Aus der Budgetgerade $2x_1 + 1x_2 = 10$ ergibt sich: \begin{eqnarray} x_2 = 10-2x_1 \qquad (*) \end{eqnarray} Eingesetzt in die Nutzenfunktion folgt: \begin{eqnarray*} U(x_1, x_2) &\rightarrow& \max\\ x_1 \cdot (10-2x_1) & \rightarrow & \max \\ 10x_1 - 2x_1^2\hfill & \rightarrow & \max \\ \frac{d(10x_1 - 2x_1^2)}{dx_1}\hfill & = &10 - 4x_1 \buildrel \rm !\over = 0 \end{eqnarray*} Die Lösung für $x_1$ ist somit: \begin{equation*} x_1 = 2,5 \end{equation*} Durch Einsetzen des Wertes von $x_1$ in Gleichung (*) wird die Lösung für $x_2$ ermittelt: \begin{equation*} x_2 = 10 - 2 \cdot 2,5 = 5 \end{equation*}

Beispiel Gegeben sei die Nutzenfunktion $$U(x_1,x_2)$$ und die Budgetbedingung $p_1x_1 + p_2x_2 = E$. Zeigen Sie durch Einsetzen der Budgetgerade in die Zielfunktion, dass im Haushaltsoptimum das 2. Gossensche Gesetz gilt. Die sich aus Zielfunktion und Budgetbedingung ergebende Funktion kann mit Hilfe der (verallgemeinerten) Kettenregel (Vgl. \cite[S. 7-13ff]{tietze:2003}) abgeleitet werden. Es gilt: $$x_2 = {E\over p_2} - {p_1\over p_2} x_1$$ also $$x_2 = x_2(x_1)$$
Eingesetzt in die Nutzenfunktion ergibt sich: $$U(x_1, x_2 (x_1))$$ Diese nur von $x_1$ abhängige Nutzenfunktion wird nach $x_1$ abgeleitet: \begin{equation} {\partial U\over \partial x_1} + {\partial U\over \partial x_2} \cdot {dx_2\over dx_1} \buildrel \rm ! \over = 0 \qquad (+) \end{equation} Da im Haushaltsoptimum die Steigung der Indifferenzkurve (${dx_2\over dx_1}$) gleich der Steigung der Budgetgerade ($- {p_1\over p_2}$) ist (vgl. Reiß "Mikroökonomische Theorie: Historisch fundierte Einführung", S. 270f [reiss:2007]) gilt: $${dx_2\over dx_1} = - {p_1\over p_2}$$ Eingesetzt in Gleichung (+) ergibt dies: \begin{eqnarray*} {\partial U\over \partial x_1} + {\partial U\over \partial x_2} \cdot (-{p_1\over p_2}) & = & 0 \\ {\partial U\over \partial x_1}\hfill &= &{\partial U\over \partial x_2} \cdot {p_1\over p_2}\\ {{\partial U\over \partial x_1}\over p_1} \hfill &= &{{\partial U\over \partial x_2}\over p_2} \end{eqnarray*}