\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Man bestimme den maximalen Nutzen bei vorgegebenen Produktionsmöglichkeiten. $$\begin{matrix} \hbox{Zielfunktion (ZF)}\hfill &&f(\underline{x}) &\rightarrow &\max\cr \hbox{Nebenbed. (NB)}\hfill &&g(\underline{x}) &= &0\hfill\end{matrix}$$
$U^{III}$ist nicht erreichbar.
$U^I$ist nicht optimal.
$U^{II}$ist optimal.

Grafischer Zugang:

Für eine optimale Lösung ist offensichtlich erforderlich, dass die Steigungen der beiden Kurven (Indifferenzkurve und Transformationskurve) übereinstimmen.

Haushaltsoptimum Q

Die Steigung jeder der beiden Kurven ist über das vollständige Differential zu bestimmen: $$d f = {\partial f\over \partial x_1} dx_1 + {\partial f\over \partial x_2} dx_2 \buildrel \rm !\over = 0$$ $$d g = {\partial g\over \partial x_1} dx_1 + {\partial g\over \partial x_2} dx_2 \buildrel \rm !\over = 0$$ \begin{equation*} \left. \begin{aligned} d f &= {\partial f\over \partial x_1} dx_1 + {\partial f\over \partial x_2} dx_2 \buildrel \rm !\over = 0 & \quad\Rightarrow \quad& &{dx_2\over dx_1} = - {{\partial f\over \partial x_1}\over {\partial f\over \partial x_2}} = - {f_1\over f_2}\\ d g &= {\partial g\over \partial x_1} dx_1 + {\partial g\over \partial x_2} dx_2 \buildrel \rm !\over = 0 & \quad\Rightarrow \quad& &{dx_2\over dx_1} = - {{\partial g\over \partial x_1}\over {\partial g\over \partial x_2}} = - {g_1\over g_2} \end{aligned} \right\} \quad \Rightarrow{f_1\over f_2} = {g_1\over g_2} \end{equation*} Unter der Annahme $g_1\ne 0, g_2\ne 0$ (Regularitätsbedingung) folgt daraus: \begin{equation*} {f_1\over g_1} = {f_2\over g_2} \buildrel \rm def \over = \lambda \end{equation*} Damit ergibt sich aus \begin{eqnarray} f_1 - f_1 &=& 0 \nonumber\\ f_1 - {f_1\over g_1} g_1 &=& 0 \nonumber \\ f_1 - \lambda g_1 &=& 0 \qquad (+) \end{eqnarray} Ebenso \begin{eqnarray} f_2 - f_2 &=& 0 \nonumber \\ f_2 - {f_2\over g_2} g_2 &=& 0 \nonumber \\ f_2 - \lambda g_2 &=& 0 \qquad (++) \end{eqnarray} In der Leibnitz-Notation schreibt man die Gleichungen (+) und (++) als: \begin{eqnarray*} {\partial f\over \partial x_1} - \lambda {\partial g\over \partial x_1} &= &0\\ {\partial f\over \partial x_2} - \lambda {\partial g\over \partial x_2} &= &0 \end{eqnarray*} Aus diesen Beziehungen ergibt sich der folgende Satz:
Satz [Langrange-Funktion]
Eine notwendige Bedingung dafür, dass an der Stelle $(x_1^*, x_2^*)$ ein Extremum von $f(\underline{x})$ unter der Nebenbedingung $g(\underline{x}) = 0$ vorliegt, ist, dass der Ausdruck \begin{equation} f(x_1, x_2) - \lambda g(x_1, x_2) \qquad (*) \end{equation} an der Stelle $(x_1^*, x_2^*)$ stationär wird.

Der Ausdruck (*) hängt von $x_1, x_2$ und $\lambda$ ab und heißt Lagrangefunktion $$L(x_1, x_2, \lambda) = f(x_1, x_2) - \lambda g(x_1, x_2)$$
Fazit Die Lagrangefunktion ist so konstruiert, dass Bedingungen erster Ordnung für die (durch $g(\vec{x})$) restringierte Funktion $f(\vec{x})$ ersetzt werden durch die Bedingungen erster Ordnung für die unrestringierte Funktion $L(\vec{x}, \lambda)$.