Der Preis für Gut 1 beträgt $p_1 =4$ €. Der Preis für Gut 2 $p_2=2$ €. Maximieren Sie die Nutzenfunktion $U(x_1,x_2) = 4x_1^{1\over 2} \cdot x_2^{1 \over 2}$ mit Hilfe der Lagrangefunktion unter der Einkommensrestriktion von 1024 €.
Die Lagrangefunktion zum angegebenen Optimierungsproblem lautet:
$L(x_1,x_2,\lambda) = 4 x_1^\frac{1}{2} \cdot x_2^\frac{1}{2} + \lambda\cdot ( 1024 + x_1 + x_2)$
$L(x_1,x_2,\lambda) = 4 x_1^\frac{1}{2} \cdot x_2^\frac{1}{2} + \lambda\cdot ( 1024 + 4x_1 + 2x_2)$
$L(x_1,x_2,\lambda) = 4 x_1^\frac{1}{2} \cdot x_2^\frac{1}{2} + \lambda\cdot ( 1024 -x_1 -x_2)$
$L(x_1,x_2,\lambda) = 4 x_1^\frac{1}{2} \cdot x_2^\frac{1}{2} + \lambda\cdot ( 1024 -4x_1 - 2x_2)$
$L(x_1,x_2,\lambda) = 4 x_1^\frac{1}{2} \cdot x_2^\frac{1}{2} + \lambda\cdot ( 1024 + 4x_1 \cdot 2x_2)$

b. Markieren Sie die richtigen partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach den Variablen:
$\frac{\partial L}{\partial x_1} =2x_1^{-\frac{1}{2}}\cdot x_2^{\frac{1}{2}}\quad-\quad4\lambda $
$\frac{\partial L}{\partial x_1} =2x_1^{-\frac{1}{2}}\cdot x_2^{\frac{1}{2}}\quad-\quad2\lambda$
$\frac{\partial L}{\partial x_2} = 2x_1^{\frac{1}{2}}\cdot x_2^{-\frac{1}{2}}\quad-\quad4\lambda$
$\frac{\partial L}{\partial x_2} = 2x_1^{\frac{1}{2}}\cdot x_2^{-\frac{1}{2}}\quad-\quad2\lambda$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 1024\quad-\quad4x_1\quad-\quad2x_2$

$$ "/>

c. Im Optimumm werden die folgenden Mengen von Gut 1 und Gut 2 nachgefragt:
x₁ = 128
x₁ = 256
x₂ = 128
x₂ = 256
Keine der Antworten ist richtig.