Loesung[Bestimmung von Hauptkomponenten]
Man beachte, dass die folgende Analyse für eine {\bf Schätzung} einer multivariaten Verteilung durchgeführt wird.
a.
i. Nebenstehend das Scatterdiagramm.
ii. Die mit Excel bestimmte Kovarianzmatrix ist:
| | $x_1$ | $x_2$ |
| $x_1$ | 70.373 | 60.04 |
| $x_2$ | 60.04 | 70.373 |
iii. Wir benutzen die auf ganzzahlige Werte aufgerundete Kovarianzmatrix
| | $x_1$ | $x_2$ |
| $x_1$ | 70 | 60 |
| $x_2$ | 60 | 70 |
< |
|
Das zugehörige Polynom ist $(70-\lambda)\cdot (70-\lambda)- 60\cdot 60= \lambda^2 -140 \lambda +1300 $
Die Nullstellen sind
$$\lambda = \frac{140}{2}\pm \sqrt{70^2 + 1300} =70\pm 60$$
$$\lambda_1 = 130$$
$$\lambda_1 = 10$$
Die Eigenvektoren, die hier -- der Notation des Problems angepasst --
mit $\vec a_1$ und $\vec a_2$ bezeichnet werden, bestimmen sich aus
der ersten (oder äquivalent zweiten) Zeile des Gleichungssystems
$(S-\lambda I)\vec a = \vec 0$:
$$(70-\lambda_i)a_{i1}-60 a_{i2} =0$$
Also für $\lambda_1$
$$(70 -130) a_{11} = -60 a_{12}$$
$$ a_{11} = a_{12} $$
$$\vec a_1=
\begin{pmatrix}
1\\
1
\end{pmatrix}
$$
und für $\lambda_2$
$$(70 -10) a_{21} = -60 a_2$$
$$ a_{21} = -a_{22} $$
$$\vec a_2=
\begin{pmatrix}
1\\
-1
\end{pmatrix}
$$
Die beiden Eigenvektoren sind orthogonal (, wie sich bei dieser Analyse generell ergen muss.
Die Hauptkomponenten sind damit
$$\vec y_1 = \vec a_1^T \cdot \vec x = x_1 + x_2$$
und
$$\vec y_2 = \vec a_1^T \cdot \vec x = x_1 - x_2$$
Diese beiden Hauptkomponenten sind im obigen Scatterdiagramm eingetragen und zwar so,
dass sie vom Punkt $\vec m$ der geschätzten Erwartungswerte ausgehen. Als Länge wurde jeweils die Wurzel der Varianzen von
$y_io$, nämlich $\lambda_i$ gewählt.
Die erste Hauptkomponente erklärt $\frac{130}{140}$ und der zweite $\frac{10}{140}$ der Gesamtvarianz von $\vec x$.
- b.
- Die mit Excel bestimmte Kovarianzmatrix ist:
FEHLT
-
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Wir gehen von folgender Kovarianzmatrix aus und
bestimmen die Hauptkomponenten.
|
| | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ |
| $x_1$ | 70 | 60 | 61 |
| $x_2$ | 60 | 70 | 70 |
| $x_3$ | 61 | 70 | 120 |
|
|
Größe
$x_1$ | Gewicht
$x_2$ | Taille
$x_3$ |
| 175 | 75 | 76 |
| 176 | 80 | 83 |
| 185 | 84 | 84 |
| 171 | 79 | 88 |
| 186 | 84 | 100 |
| 181 | 82 | 84 |
| 178 | 77 | 85 |
| 182 | 87 | 90 |
| 175 | 79 | 92 |
| 186 | 93 | 85 |
| 194 | 100 | 96 |
| 165 | 62 | 50 |
| 187 | 84 | 86 |
| 199 | 90 | 92 |
| 181 | 80 | 81 |
Stichprobenergebnisse
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