Aufgabe_Cobb-Douglas-Nutzen
Gegeben sei die Nutzenfunktion eines Individuums
$$U(x_1,x_2) = (x_1+a_1) \cdot (x_2+a_2)$$ mit $a_1=0$ und
$a_2=0$.
Das Einkommen sei $E = 10$ und die Marktpreise $p_1 =4$, $p_2 =
1$.
- Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrangefunktion ein
Haushaltsoptimum.
- Verdeutlichen Sie sich grafisch die Lösung.
a. Die Budgetbedingung lautet $p_1x_1 \cdot p_2x_2 \leq E$. Wegen
der Bedingung der Nichtsättigung muss das Optimum
auf der
Budgetgeraden $p_1x_1 \cdot p_2x_2 = E$ liegen.
Mit der Budgetgeraden als Nebenbedingung führt das
Optimierungsproblem zur folgenden Lagrangefunktion:
$$L(x_1, x_2, \lambda) = x_1x_2 + \lambda (E-p_1x_1 - p_2x_2)$$
\begin{alignat*}{4}
{\partial L\over \partial x_1} &= x_2 - \lambda p_1 \buildrel \rm
! \over = 0 \quad &\Rightarrow \quad &x_2 &= \lambda p_1\\
{\partial L\over \partial x_2} &= x_1 - \lambda p_2 \buildrel \rm
! \over = 0 \quad &\Rightarrow \quad &x_1 &= \lambda p_2
\end{alignat*}
\begin{eqnarray*}
\frac{x_2}{ x_1} &= &\frac{p_1}{ p_2}\\
p_2x_2 &= &p_1x_1
\end{eqnarray*}
Damit ergibt sich aus der Budgetgleichung:
\begin{eqnarray*}
E &= &p_1x_1 + p_1x_1\\
x_1 &= &\frac{E}{ 2p_1}
\end{eqnarray*}
Ebenso
$$x_2 = {E\over 2p_2}$$
Für die Werte der Aufgabe ergibt sich somit das Haushaltsoptimum
bei:
$$x_1 = \frac{10}{ 2\cdot 4}=1,25 \qquad x_2 = \frac{10}{ 2\cdot 1}=5$$
b. Die Indifferenzkurven sind gegeben durch:
$$x_2 = {U\over x_1}$$
Für die Budgetgerade ergibt sich:
$$x_2 = \frac{E}{ p_2} - \frac{p_1}{ p_2} x_1 \Rightarrow x_2 = 10 - 4x_1$$
Bei $x_1 = 1,25$ und $x_2 = 5$ ergibt sich das Haushaltsoptimum
als Tangentialpunkt der Budgetgerade und einer Indifferenzkurve.
Im Optimum gilt also $x_1 >0$, $x_2 >0$ und
$${\partial U/\partial x_1\over \partial U/\partial x_2} = {p_1\over p_2}$$
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Zulässiges Optimum
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Als Ergebnis kann festgehalten werden: Das Optimum liegt im
Inneren des zulässigen Bereichs und das zweite Gossensche Gesetz
ist gültig.