Aufgabe_Cobb-Douglas-Nutzen
Gegeben sei die Nutzenfunktion eines Individuums
$$U(x_1,x_2) = (x_1+a_1) \cdot (x_2+a_2)$$ mit $a_1=0$ und
$a_2=0$.
Das Einkommen sei $E = 10$ und die Marktpreise $p_1 =4$, $p_2 =
1$.
- Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrangefunktion ein
Haushaltsoptimum.
- Verdeutlichen Sie sich grafisch die Lösung.
a. Die Budgetbedingung lautet $p_1x_1 \cdot p_2x_2 \leq E$. Wegen
der Bedingung der Nichtsättigung muss das Optimum
auf der
Budgetgeraden $p_1x_1 \cdot p_2x_2 = E$ liegen.
Mit der Budgetgeraden als Nebenbedingung führt das
Optimierungsproblem zur folgenden Lagrangefunktion:
$$L(x_1, x_2, \lambda) = x_1x_2 + \lambda (E-p_1x_1 - p_2x_2)$$
\begin{alignat*}{4}
{\partial L\over \partial x_1} &= x_2 - \lambda p_1 \buildrel \rm
! \over = 0 \quad &\Rightarrow \quad &x_2 &= \lambda p_1\\
{\partial L\over \partial x_2} &= x_1 - \lambda p_2 \buildrel \rm
! \over = 0 \quad &\Rightarrow \quad &x_1 &= \lambda p_2
\end{alignat*}
\begin{eqnarray*}
\frac{x_2}{ x_1} &= &\frac{p_1}{ p_2}\\
p_2x_2 &= &p_1x_1
\end{eqnarray*}
Damit ergibt sich aus der Budgetgleichung:
\begin{eqnarray*}
E &= &p_1x_1 + p_1x_1\\
x_1 &= &\frac{E}{ 2p_1}
\end{eqnarray*}
Ebenso
$$x_2 = {E\over 2p_2}$$
Für die Werte der Aufgabe ergibt sich somit das Haushaltsoptimum
bei:
$$x_1 = \frac{10}{ 2\cdot 4}=1,25 \qquad x_2 = \frac{10}{ 2\cdot 1}=5$$
b. Die Indifferenzkurven sind gegeben durch:
$$x_2 = {U\over x_1}$$
Für die Budgetgerade ergibt sich:
$$x_2 = \frac{E}{ p_2} - \frac{p_1}{ p_2} x_1 \Rightarrow x_2 = 10 - 4x_1$$
Bei $x_1 = 1,25$ und $x_2 = 5$ ergibt sich das Haushaltsoptimum
als Tangentialpunkt der Budgetgerade und einer Indifferenzkurve.
Im Optimum gilt also $x_1 >0$, $x_2 >0$ und
$${\partial U/\partial x_1\over \partial U/\partial x_2} = {p_1\over p_2}$$
|
Zulässiges Optimum
|
Als Ergebnis kann festgehalten werden: Das Optimum liegt im
Inneren des zulässigen Bereichs und das zweite Gossensche Gesetz
ist gültig.
Die folgende Aufgabe benutzt die exakt gleiche Nebenbedingung.
Lediglich die Nutzenfunktion unterscheidet sich in ihren
Parametern von der Nutzenfunktion dieser Aufgabe.