Unterstellen Sie eine Robinson Crusoe-Ökonomie mit einem
Konsumenten, dessen Nutzenfunktion
\begin{equation*}
%\label{XXX}
U(x_1,x_2)\end{equation*}
maximiert werden soll. Die Gütermengen $x_1$ und $x_2$ werden gemäß der
Produktionsfunktion
\begin{eqnarray*}
x_1 &= &f_1(w_{11}, w_{12})\\
x_2 &= &f_2(w_{21}, w_{22})
\end{eqnarray*}
hergestellt. Dabei ist $w_{ij}$ die Faktormenge von Faktor $j$,
der bei der Produktion von Gut $i$ eingesetzt wird. Von den beiden
Faktoren sei jeweils eine vorgegebene Menge $W_1$, $W_2$
vorhanden. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Lagrangeansatzes
notwendige Bedingungen für ein Nutzenmaximum und geben Sie eine
ökonomische Interpretation.
Als Optimierungsproblem ergibt sich:
\begin{eqnarray*}
U(x_1, x_2) &\rightarrow &\max
\end{eqnarray*}
unter den Nebenbedingungen:
\begin{eqnarray*}
f_1(w_{11}, w_{12}) &= & x_1\\
f_2(w_{21}, w_{22}) &= & x_2\\
w_{11} + w_{21} &= &\overline{W_1}\\
w_{12} + w_{22} &= &\overline{W_2}
\end{eqnarray*}
Daraus ergibt sich als Lagrangefunktion:
\begin{equation*}
\begin{split}
L(x_1, x_2, & w_{11}, w_{12}, w_{21}, w_{22}, \lambda_1,
\lambda_2, \lambda_3, \lambda_4) \\
&= U(x_1, x_2)\\
&+ \lambda_1(f_1(w_{11}, w_{12}) - x_1)\\
&+ \lambda_2(f_2(w_{21}, w_{22}) - x_2)\\
&+ \lambda_3 (\overline{W_1} - w_{11} - w_{21})\\
&+ \lambda_4 (\overline{W_2} - w_{12} - w_{22})
\end{split}
\end{equation*}
Aus dieser Lagrangefunktion werden folgende Optimalitätsbedingungen abgeleitet:
\begin{equation}
\label{eq:35} \left.\begin{aligned} {\partial L\over
\partial x_1} &=& {\partial U(x_1, x_2)\over
\partial x_1} - \lambda_1 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow
{\partial U(x_1, x_2)\over
\partial x_1} = \lambda_1\\
{\partial L\over
\partial x_2}&=& {\partial U(x_1, x_2)\over
\partial x_2} - \lambda_2 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow
{\partial U(x_1, x_2)\over
\partial x_2}= \lambda_2
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow
\begin{aligned}
{{\partial U\over
\partial x_1} \over {\partial U\over \partial x_2}} =
{\lambda_1\over \lambda_2}\qquad\qquad (1)
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:36} \left.\begin{aligned} {\partial L\over
\partial w_{11}} &=& +\lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over
\partial w_{11}} - \lambda_3 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow
\lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over
\partial w_{11}} = \lambda_3\\
{\partial L\over
\partial w_{12}} &=& +\lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over
\partial w_{12}} - \lambda_4 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow
\lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over
\partial w_{12}} = \lambda_4
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow
\begin{aligned}
{{\partial f_1\over
\partial w_{11}} \over {\partial f_1\over \partial w_{12}}} =
{\lambda_3\over \lambda_4} \qquad\qquad(2)
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{eq:37} \left.\begin{aligned} {\partial L\over
\partial w_{21}} &=& +\lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over
\partial w_{21}} - \lambda_3 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow
\lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over
\partial w_{21}} = \lambda_3\\
{\partial L\over
\partial w_{22}} &=& +\lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over
\partial w_{22}} - \lambda_4 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow
\lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over
\partial w_{22}} = \lambda_4
\end{aligned}
\right\} \Rightarrow
\begin{aligned}
{{\partial f_2\over
\partial w_{21}} \over {\partial f_2\over \partial w_{22}}} =
{\lambda_3\over \lambda_4} \qquad\qquad(3)
\end{aligned}
\end{equation}
Interpretiert man $\lambda_1, \lambda_2$ als Güterpreise, so
besagt (1), dass das Grenznutzenverhältnis der beiden
Güter im Optimum gleich dem Preisverhältnis dieser Güter ist.
Diese Aussage entspricht dem zweiten Gossenschen Gesetz.
Betrachtet man $\lambda_3, \lambda_4$ als Faktorpreise, so
beschreibt (2) die Optimierungsregel bezüglich
Produktion von Gut 1. Analog beschreibt (3) die
Optimierungsregel bezüglich Produktion von Gut 2.