Unterstellen Sie eine Robinson Crusoe-Ökonomie mit einem Konsumenten, dessen Nutzenfunktion \begin{equation*} %\label{XXX} U(x_1,x_2)\end{equation*} maximiert werden soll. Die Gütermengen $x_1$ und $x_2$ werden gemäß der Produktionsfunktion \begin{eqnarray*} x_1 &= &f_1(w_{11}, w_{12})\\ x_2 &= &f_2(w_{21}, w_{22}) \end{eqnarray*} hergestellt. Dabei ist $w_{ij}$ die Faktormenge von Faktor $j$, der bei der Produktion von Gut $i$ eingesetzt wird. Von den beiden Faktoren sei jeweils eine vorgegebene Menge $W_1$, $W_2$ vorhanden. Bestimmen Sie mit Hilfe eines Lagrangeansatzes notwendige Bedingungen für ein Nutzenmaximum und geben Sie eine ökonomische Interpretation.
Als Optimierungsproblem ergibt sich: \begin{eqnarray*} U(x_1, x_2) &\rightarrow &\max \end{eqnarray*} unter den Nebenbedingungen: \begin{eqnarray*} f_1(w_{11}, w_{12}) &= & x_1\\ f_2(w_{21}, w_{22}) &= & x_2\\ w_{11} + w_{21} &= &\overline{W_1}\\ w_{12} + w_{22} &= &\overline{W_2} \end{eqnarray*} Daraus ergibt sich als Lagrangefunktion: \begin{equation*} \begin{split} L(x_1, x_2, & w_{11}, w_{12}, w_{21}, w_{22}, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4) \\ &= U(x_1, x_2)\\ &+ \lambda_1(f_1(w_{11}, w_{12}) - x_1)\\ &+ \lambda_2(f_2(w_{21}, w_{22}) - x_2)\\ &+ \lambda_3 (\overline{W_1} - w_{11} - w_{21})\\ &+ \lambda_4 (\overline{W_2} - w_{12} - w_{22}) \end{split} \end{equation*} Aus dieser Lagrangefunktion werden folgende Optimalitätsbedingungen abgeleitet: \begin{equation} \label{eq:35} \left.\begin{aligned} {\partial L\over \partial x_1} &=& {\partial U(x_1, x_2)\over \partial x_1} - \lambda_1 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow {\partial U(x_1, x_2)\over \partial x_1} = \lambda_1\\ {\partial L\over \partial x_2}&=& {\partial U(x_1, x_2)\over \partial x_2} - \lambda_2 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow {\partial U(x_1, x_2)\over \partial x_2}= \lambda_2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \begin{aligned} {{\partial U\over \partial x_1} \over {\partial U\over \partial x_2}} = {\lambda_1\over \lambda_2}\qquad\qquad (1) \end{aligned} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:36} \left.\begin{aligned} {\partial L\over \partial w_{11}} &=& +\lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over \partial w_{11}} - \lambda_3 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow \lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over \partial w_{11}} = \lambda_3\\ {\partial L\over \partial w_{12}} &=& +\lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over \partial w_{12}} - \lambda_4 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow \lambda_1 {\partial f_1(w_{11}, w_{12})\over \partial w_{12}} = \lambda_4 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \begin{aligned} {{\partial f_1\over \partial w_{11}} \over {\partial f_1\over \partial w_{12}}} = {\lambda_3\over \lambda_4} \qquad\qquad(2) \end{aligned} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:37} \left.\begin{aligned} {\partial L\over \partial w_{21}} &=& +\lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over \partial w_{21}} - \lambda_3 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow \lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over \partial w_{21}} = \lambda_3\\ {\partial L\over \partial w_{22}} &=& +\lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over \partial w_{22}} - \lambda_4 {\buildrel \rm ! \over = 0} &\Rightarrow \lambda_2 {\partial f_2(w_{21}, w_{22})\over \partial w_{22}} = \lambda_4 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \begin{aligned} {{\partial f_2\over \partial w_{21}} \over {\partial f_2\over \partial w_{22}}} = {\lambda_3\over \lambda_4} \qquad\qquad(3) \end{aligned} \end{equation} Interpretiert man $\lambda_1, \lambda_2$ als Güterpreise, so besagt (1), dass das Grenznutzenverhältnis der beiden Güter im Optimum gleich dem Preisverhältnis dieser Güter ist. Diese Aussage entspricht dem zweiten Gossenschen Gesetz.
Betrachtet man $\lambda_3, \lambda_4$ als Faktorpreise, so beschreibt (2) die Optimierungsregel bezüglich Produktion von Gut 1. Analog beschreibt (3) die Optimierungsregel bezüglich Produktion von Gut 2.