Betrachtet wird eine quasikonkave, monoton zunehmende Zielfunktion

\begin{equation*} u(x_1,x_2) \rightarrow \max\end{equation*}

unter einer linearen Nebenbedingung \begin{equation*} p_1x_1 + p_2x_2 \le E \end{equation*} Die Zeichnung macht deutlich, dass bei bestimmten Nutzenfunktionen (z.B. bei nahen Substituten) Optimalitätslösungen außerhalb des zulässigen Bereichs auftreten. Die damit erforderlichen Nichtnegativitätsbedingungen führen zu Randlösungen.

Insgesamt ergibt sich das Optimierungsproblem: \begin{eqnarray*} u(x_1, x_2) &\rightarrow &\max \\ p_1x_1 + p_2x_2 &\le &E\\ \hbox{mit }x_1, x_2 &\ge &0 \end{eqnarray*} Als Lagrangefunktion ergibt sich: \begin{eqnarray*} L &= &u(x_1, x_2) + \lambda (E - p_1x_1 - p_2x_2) \end{eqnarray*}

Optimum bei einer linearen Beschränkung

Wegen der Nichtnegativitätsbedingungen und Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen kann das Optimum nicht mit Hilfe der Lagrangemethode gelöst werden.

Als Kuhn-Tucker-Bedingungen erhält man die folgenden notwendigen Bedingungen: \begin{align*} \qquad {\partial L\over \partial x_1} = {\partial U\over \partial x_1} - \lambda p_1 &\le 0 &x_1 &\ge 0 & x_1 {\partial L\over \partial x_1} &= 0 \qquad \\ \qquad {\partial L\over \partial x_2} = {\partial U\over \partial x_2} - \lambda p_2 &\le 0 &x_2 &\ge 0 & x_2 {\partial L\over \partial x_2} &= 0 \qquad \\ \qquad {\partial L\over \partial \lambda} = E- p_1x_1 - p_2x_2 &\ge 0 & \end{align*} Für die Lösung können folgende Fälle unterschieden werden:

Fall 1:   $x_1 = 0, x_2 = 0$
Wegen der Monotonie der Zielfunktion ist eine solche Lösung nicht optimal.

Fall 2:   $x_1 = 0, x_2 > 0$
Ist $x_1 = 0$, so ist wegen $x_1 {\partial L\over \partial x_1} = 0$ (Bedingung vom komplementären Schlupf) ${\partial L\over \partial x_1}\le 0$, und es gilt: \begin{eqnarray} {\partial L\over \partial x_1}= {\partial u\over \partial x_1} - \lambda p_1 & \le & 0 \nonumber\\ \label{eq:45}{\partial u\over \partial x_1} & \le & \lambda p_1 \qquad (1) \end{eqnarray} Wegen $x_2 > 0$ folgt aus $x_2 {\partial L\over \partial x_2} = 0$ (Bedingung vom komplementären Schlupf): \begin{eqnarray} {\partial L\over \partial x_2}= {\partial u\over \partial x_2} - \lambda p_2 &=& 0\nonumber \\ \label{eq:46}{\partial u\over \partial x_2} & = & \lambda p_2 \qquad (2) \end{eqnarray} Zusammengefasst ergeben (1) und (2): \begin{equation*} {{\partial u\over \partial x_1}\over {\partial u\over \partial x_2}} \le {p_1\over p_2} \end{equation*} Als Ergebnis ergibt sich die Randlösung: \begin{equation*} x_1 = 0\qquad x_2 = {E\over p_2}\end{equation*} \begin{equation*} {{\partial u\over \partial x_1}\over {\partial u\over \partial x_2}} \le {p_1\over p_2} \end{equation*}

Fall 3:   $x_1 > 0, x_2 = 0$
Analog zu Fall 2 kann für $x_1 > 0, x_2 = 0$ die Randlösung: \begin{equation*} x_2 = 0 \qquad x_1 = {E\over p_1}\end{equation*} \begin{equation*} {{\partial u\over \partial x_1}\over {\partial u\over \partial x_2}} \ge {p_1\over p_2} \end{equation*} errechnet werden.

Fall 4:   $x_1 > 0, x_2 > 0$
In diesem Fall kommt es zu keiner Randlösung, wodurch die Nichtnegativitätsbedingungen überflüssig sind. Somit kann das Problem mit der Lagrange-Methode gelöst werden. Aus den Optimalitätsbedingungen erhält man dann: \begin{equation*} \left.\begin{aligned} {\partial L\over \partial x_1} &=& {\partial U\over \partial x_1} - \lambda p_1 {\buildrel \rm ! \over = 0} \ &\Rightarrow& {\partial U\over \partial x_1} = \lambda p_1\\ {\partial L\over \partial x_2} &=& {\partial U\over \partial x_2} - \lambda p_2 {\buildrel \rm ! \over = 0} \ &\Rightarrow& {\partial U\over \partial x_2} = \lambda p_2 \end{aligned} \right\} \Rightarrow \begin{aligned} {{\partial u\over \partial x_1}\over {\partial u\over \partial x_2}} = {p_1\over p_2} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} {\partial L\over \partial \lambda} = E- p_1x_1 - p_2x_2 {\buildrel \rm ! \over = 0} \Rightarrow x_2 = {E - p_1x_1 \over p_2} \end{equation*}