Betrachtet wird eine quasikonkave, monoton zunehmende Zielfunktion \begin{equation*} u(x_1,x_2) \rightarrow \max\end{equation*} unter einer linearen Nebenbedingung \begin{equation*} p_1x_1 + p_2x_2 \le E \end{equation*} Die Zeichnung macht deutlich, dass bei bestimmten Nutzenfunktionen (z.B. bei nahen Substituten) Optimalitätslösungen außerhalb des zulässigen Bereichs auftreten. Die damit erforderlichen Nichtnegativitätsbedingungen führen zu Randlösungen. Insgesamt ergibt sich das Optimierungsproblem: \begin{eqnarray*} u(x_1, x_2) &\rightarrow &\max \\ p_1x_1 + p_2x_2 &\le &E\\ \hbox{mit }x_1, x_2 &\ge &0 \end{eqnarray*} Als Lagrangefunktion ergibt sich: \begin{eqnarray*} L &= &u(x_1, x_2) + \lambda (E - p_1x_1 - p_2x_2) \end{eqnarray*} |
Optimum bei einer linearen Beschränkung |