Nutzenmaximierung unter einer Budgetbeschränkung

Gegeben sei das folgende Optimierungsproblem der Nutzenmaximierung unter einer Budgetbeschränkung: \begin{eqnarray*} u(x_1,x_2,x_3) = x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \cdot x_3^{\alpha_3} & \rightarrow & \max\\ p_1x_1 + p_2x_2 + p_3x_3 & \le &E \end{eqnarray*} Wird die Nebenbedingung als Gleichung genommen, so lautet die zugehörige Lagrangefunktion: \begin{equation*} L = x_1^{\alpha_1} \cdot x_2^{\alpha_2} \cdot x_3^{\alpha_3} + \lambda \left(E - (p_1x_1 + p_2x_2 + p_3x_3)\right) \end{equation*} Die aus der Lagrangefunktion abgeleiteten Optimalitätsbedingungen lauten: \begin{eqnarray} {\partial L\over \partial x_i} &=&\alpha_i{x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}x_3^{\alpha_3}\over x_i} - \lambda p_i \buildrel \rm !\over = 0 \qquad\qquad (1)\\ {\partial L\over \partial \lambda} &= &E - (p_1x_1 + p_2x_2 + p_3x_3) \buildrel \rm !\over = 0\nonumber\qquad (2) \end{eqnarray} Aus (1) ergibt sich: \begin{eqnarray*} \alpha_i {x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} x_3^{\alpha_3}\over x_i} &=& \lambda p_i\\ {x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} x_3^{\alpha_3}\over \lambda}\quad \ &=& {p_i x_i \over \alpha_i} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \Rightarrow &\quad {p_1x_1\over \alpha_1} = {p_2x_2\over \alpha_2} = {p_3x_3\over \alpha_3}\\ \Rightarrow &\quad p_1x_1 ={\alpha_1\over \alpha_3} p_3x_3 \qquad p_2x_2 = {\alpha_2\over \alpha_3} p_3x_3 \end{eqnarray*} Eingesetzt in die Nebenbedingung (2) ergibt sich \begin{equation*} %\label{XXX} \begin{array}{lrl} &{\alpha_1\over \alpha_3} p_3 x_3 + {\alpha_2\over \alpha_3} p_3x_3 + p_3x_3 &= E\\ &{\alpha_1\over \alpha_3} p_3 x_3 + {\alpha_2\over \alpha_3} p_3x_3 + {\alpha_3\over \alpha_3} p_3x_3 &= E\\ &(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) {p_3x_3\over \alpha_3} &= E\\ & x_3 &= {\alpha_3\cdot E\over (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)p_3}\\ \hbox{Ebenso}\\ & x_1 &= {\alpha_1 E\over (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)p_1}\\ & x_2 &= {\alpha_2 E\over (\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)p_2} \end{array}\end{equation*} Das sind die optimalen Güternachfragen in Abhängigkeit von $p_1$, $p_2$, $p_3$ und $E$, also die Marshallsche Nachfragefunktion.

Frage
Warum kann man in diesem Fall bedenkenlos mit der Lagrangemethode arbeiten und muss weder auf
  1. Nichtnegativitätsbedingungen noch auf
  2. Beschränkungen in Form von Ungleichungen
achten?
Antwort
  1. Die Cobb-Douglas-Funktion kann keine Randlösungen annehmen, da \begin{eqnarray*} u(x_1, 0) &= &0\\ u(0, x_2) &= &0 \end{eqnarray*}
  2. Es wird mit der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Nichtsättigung unterstellt. Damit liegt das Nutzenmaximum immer auf der Budgetgeraden, welche durch die Gleichung $$p_1x_1 + p_2x_2 + p_3x_3 = E$$ beschrieben wird.