Schritt 4:
Bei $n$ Variablen $x_1, \dots, x_n$ und $m$ Nebenbedingungen
$g^i(x_1, \dots , x_n) \le r_i$ (mit $m < n$) ergibt sich als Lagrangefunktion
\begin{equation*}
L = f(x_1, \dots, x_n) + \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \left(r_i - g^i(x_1,
\dots , x_n)\right)\end{equation*}
Die Kuhn-Tucker Bedingungen ergeben sich als notwendige Maximierungsbedingung:
\begin{align*}
\qquad {\partial L\over \partial x_j} &\le 0 &x_j &\ge 0 &
x_j {\partial L\over \partial x_j} &= 0 \qquad \\
\qquad {\partial L\over \partial \lambda_i} &\ge 0 &\lambda_i &\ge
0 &\lambda_i {\partial L\over \partial \lambda_i} &= 0 \qquad
\end{align*}
Ebenso ergibt sich bei der Minimierung als notwendige Bedingung
\begin{align*}
\qquad {\partial L\over \partial x_j} &\ge 0 &x_j &\ge 0
&x_j {\partial L\over \partial x_j} &= 0\qquad\\
\qquad {\partial L\over \partial \lambda_i} &\le 0 &\lambda_i &\ge
0 &\lambda_i {\partial L\over \partial \lambda_i} &=
0\qquad\\
\end{align*}