Gesucht ist das Maximum der Funktion $f(x_1)$, wobei für $x_1$ eine
Nichtnegativitätsbedingung gelten soll.
\begin{eqnarray*}
y = f(x_1) &\longrightarrow& \max\\
x_1 &\ge& 0
\end{eqnarray*}
Betrachten Sie die drei Fälle A, B und C.
Beobachten Sie jeweils die
Lage des Maximums $x*$ und die Steigung im Maximum.
Unterscheidet sich diese Lösung von den bisher
untersuchten eines Problems ohne Nichtnegativitätsbedingungen?
Inwieweit unterscheidet sich dieser Fall vom Fall A.
und inwieweit vom Fall C.?
Wo liegt das Maximum? Beachten Sie dabei die Nichtnegativitätsbedingung!
Welchen Wert hat die Steigung im zulässigen Maximum?
Warum ist der Punkt mit Steigung 0 auf der Funktion keine Lösung des
Maximierungsproblems?
Alternative Optima
Im Fall A liegt eine innere Lösung vor, da $x^*$ ein
innerhalb des zulässigen Bereichs $[0, \infty$) liegt.
Es gilt in $x^*$:
\begin{equation}
f'(x) = 0 \qquad \hbox{und} \quad x > 0 \qquad (+)
\end{equation}
Im Fall B liegt eine Lösung am Rand des zulässigen
Bereichs vor. Es gilt hier für das Maximum:
\begin{equation}
f'(x) = 0 \qquad \hbox{und} \quad x = 0 \qquad (++)
\end{equation}
Im Fall C ist der Punkt mit Steigung Null nicht zulässig,
da die Nichtnegativitätsbedingung nicht erfüllt ist.
Das zulässige Maximum ist eine Randlösung, bei der die Steigung nicht Null ist.
Dabei muss die Steigung in diesem Randpunkt negativ sein, da bei positiver
Steigung am Rande kein Maximum vorliegen kann.
Also:
\begin{equation}
f'(x) < 0 \qquad \hbox{und} \quad x = 0 \qquad (+++)
\end{equation}
Die drei Bedingungen können folgendermaßen zusammengefasst werden
\begin{equation}
f'(x)\le 0,\qquad x\ge 0,\qquad x\cdot f'(x)=0 \qquad (*)
\end{equation}
Dabei sind die ersten beiden Ungleichungen die Zusammenfassung der
entsprechenden Bedingungen in (+), (++) und (+++);
durch Zusammenfassung jedoch in abgeschwächter Form.
Diese Abschwächung wird allerdings durch die dritte Ungleichung,
die Bedingung vom komplementären Schlupf, kompensiert. Da ein
Produkt zweier Zahlen nur dann null ist, wenn mindestens ein
Faktor null ist, kann diese Ungleichung folgendermaßen gelesen
werden:
Entweder sind $x$ und $f'(x)$ beide null (also (++))
oder aber
wenn $x > 0$, dann $f'(x) = 0$ (also (+)) bzw.
wenn $f'(x) < 0$ dann $x = 0$ (also (+++)).
Damit enthält (*) die gleiche Information wie die drei
Beziehungen (+), (++), (+++).
Die Beziehung (*) gibt für ein Optimierungsproblem mit
einer Variablen und ohne Nebenbedingung das wieder, was später die
Kuhn-Tucker-Bedingungen erfassen.