\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Beispiel 3a
\begin{eqnarray*}
\vec{w}\cdot \vec{x} &\rightarrow& \min\\
f(\vec{x}) &=& y\
\end{eqnarray*}
Die dazugehörige Lagrangefunktion lautet:
$$L(\vec{x}, \lambda ) = \vec{w}\cdot \vec{x} + \lambda (y- f(\vec{x}))$$
Die optimalen Werte $\vec{x}^*$ und $\lambda^*$ sind von $\vec{w}
\text{ und } y$ abhängig, also:
$$
\vec{x}^*=\vec{x}^*(\vec{w},y) \quad \text{(bedingte Faktornachfrage) ~ ~ ~ und }\qquad
\lambda^*=\lambda^*(\vec{w},y)
$$
Somit
$$L^* = L\left(\vec{x}^*(\vec{w}, y), \lambda^*(\vec{w}, y)\right) = L^*(\vec{w},y)$$ wobei
$$L^*(\vec{w},y) = \vec{w} \vec{x}^*(\vec{w}, y) =: C(\vec{w}, y) \text{ Kostenfunktion}$$
Untersucht werden soll die Auswirkung einer marginalen Änderung des Preises des Faktors $i$.
Es ist also die Ableitung der Lagrangefunktion nach $w_i$ zu betrachten:
$${\partial L^*\over
\partial w_i}
=
{\partial C(\vec{w}, y)\over \partial w_i} = x_i \quad \hbox{(Shepards Lemma)}
$$
$$\left(\hbox{da} \quad \vec{w} \cdot \vec{x} =
%\sum\limits_{j=1}^n \ w_jx_j\right)
w_1x_1 + w_2x_2 + \dots + w_nx_n\right)
$$
Als Ergebnis erhält man, dass die Ableitung der Kostenfunktion
$C$ nach dem Preis des $i$-ten Faktors die nachgefragte Menge dieses
Faktors in Abhängigkeit von $\vec w$ und $y$ - also die bedingte Faktornachfrage - ergibt.
Beispiel 3b
DIESES BEISPIEL WANDERT IN DEN ABSCHNITT DUALITÄT
Minimierung der Ausgaben unter Einhaltung eines gegebenen Nutzenniveaus:
\begin{eqnarray*}
\vec{p} \cdot \vec{x} &\rightarrow& \min\\
U(\vec{x}) &=& \overline{U}\
\end{eqnarray*}
Die dazugehörige Lagrangefunktion lautet:
$$L(\vec{x}, \lambda ) = \vec{p} \cdot \vec{x} + \lambda (\overline{U}- U(\vec{x}))$$
Die optimalen Werte $\vec{x}^*$ und $\lambda^*$ sind von $\vec{p}
\text{ und } \overline{U}$ abhängig, also:
$$
\vec{x}^*=\vec{x}^*(\vec{p},\overline{U}) \quad \text{(Hicksche Nachfrage) ~ ~ ~ und }\qquad
\lambda^*=\lambda^*(\vec{p},\overline{U})
$$
Somit
$$L^* = L\left(\vec{x}^*(\vec{p}, \overline{U}), \lambda^*(\vec{p}, \overline{U})\right) = L^*(\vec{p},
\overline{U})$$ wobei
$$L^*(\vec{p}, \overline{U}) = \vec{p} \vec{x}^*(\vec{p}, \overline{U}) =: e(\vec{p}, \overline{U})
\text{ Ausgabenfunktion}$$
Untersucht werden soll die Auswirkung einer marginalen Änderung
des Preises des Gutes $i$. Es ist also die Ableitung der
Lagrangefunktion nach $p_i$ zu betrachten:
$${\partial L^*\over
\partial p_i} = {\partial e(\vec{p}, \overline{U})\over \partial p_i} = x_i \quad
\hbox{(Shepards Lemma)}$$
$$\left(\hbox{da} \quad \vec{p} \cdot \vec{x} = \sum\limits_{j=1}^n \
p_jx_j\right)$$
Als Ergebnis erhält man, dass die Ableitung der Ausgabenfunktion
$e$ nach dem Preis des $i$-ten Gutes die nachgefragte Menge dieses
Gutes ergibt.