Es sei $x(p) = x = constant$.
Die Kostenfunktion sei $C(x) = x^2$.
Dann ergibt sich als Gewinnfunktion:
\[G(x) = px - x^2\]
Gesucht: Abhängigkeit des maximalen Gewinns vom Preis.
- (mühsame) Vorgehensweise
- Bestimmung von $G^*$:
\begin{eqnarray*}\frac{dG}{dx} &=& p - 2x {\buildrel \rm ! \over =} 0 \Rightarrow x^* = \frac{p}{2}\\
G^* &=& G(x^*) = p \frac{p}{2} - \left(\frac{p}{2}\right)^2 = {p^2 \over 4}
\end{eqnarray*}
- Bestimmung von $\frac{dG^*}{dp}$:
\[\frac{dG^*}{p} = \frac{p}{2 }= x^*\]
- Vorgehen mit Hilfe des Umhüllenden-Satzes
\[G^* = px^* -{x^*}^2 \]
\[{dG^* / dp} = x^*\]