\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \) Vektoren wurden oben als spezielle Matrizen eingeführt. Die eingeführten Rechenoperationen gelten damit auch für die Vektoren. Die Vektoren werden hier durch kleine unterstrichene lateinische Buchstaben dargestellt.
Definition: [Spalten- bzw. Zeilenvektoren]

Matrizen mit nur einer Spalte werden Spaltenvektoren, Matrizen mit nur einer Zeile Zeilenvektoren genannt.
Die Menge aller Spaltenvektoren nennt man den linearen Vektorraum $\mathbb{R}^n$. Im folgenden werden wir also für einen Spaltenvektor $\vec{x}$ mit $n$ reellen Komponenten schreiben $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$.

Für diesen linearen Raum gelten die folgenden Regeln:
  1. Die Addition von Vektoren ist kommutativ: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
  2. Es existiert ein Nullvektor $\vec{0}$ mit der Eigenschaft: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$
  3. Es existiert ein Vektor $-\vec{a}$, so dass gilt: $\vec{a} +(-\vec{a}) = \vec{0}$.
Da Vektoren spezielle Typen der Matrizen sind, ergeben sich die algebraische Operationen wie Addition, Multiplikation mit Skalar und Multiplikation von Vektoren aus den entsprechenden Definitionen der Matrizen.
  1. Addition zweier Vektoren: Es können nur Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) addiert werden, die in der Anzahl der Komponenten übereinstimmen.Für zwei Vektoren \begin{equation*} %\quad \Rightarrow % \quad \vec{a} + \vec{b} =\! \begin{pmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_n\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix} \!=\! \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\ \vdots\\ a_n + b_n \end{pmatrix}. \end{equation*}
  2. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar:Die einzelnen Elemente des Vektors werden jeweils mit dem Skalar multipliziert. Das Ergebnis ist ein Vektor der gleichen Dimension: \begin{equation*} %\label{XYZ} \alpha \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} \alpha \cdot a_1\\ \vdots\\ \alpha \cdot a_n \end{pmatrix}. \end{equation*}
  3. Skalarprodukt (Multiplikation zweier Vektoren): Vektoren können nur multipliziert werden, wenn der linke Vektor ein Zeilenvektor und der rechte Vektor ein Spaltenvektor ist. Dabei muss die Länge des Zeilenvektors gleich der Länge des Spaltenvektors sein. Das Ergebnis der Multiplikation der beiden Vektoren ist ein Skalar (Element von $ \mathbb{R}$): \begin{equation*} %\label{XYZ} \begin{pmatrix} a_1 &\ldots &a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_n \end{pmatrix}= a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n = \sum_{i=1}^n a_ib_i \quad \in \mathbb{R}. \end{equation*}