\(\def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Die Formel $ \vec x^{T}\cdot\vec y = |\vec x|\cdot|\vec y|\cdot\cos\sphericalangle(\vec x,\vec y)$ kann in zwei Weisen interpretiert werden:
  1. Man betrachtet die Projektion eines Vektors auf den anderen, also z.B. $p_{\vec y,\vec x}$ des Vektors $\vec y$ auf den Vektor $\vec x$ (vgl. nebenstehende Komponente). Nach Definition des Cosinus gilt $cos \gamma=\frac{p_{\vec y,\vec x}}{|\vec y|}$ bzw. $$p_{\vec y,\vec x}= |\vec y|\cdot \cos \gamma.$$ also \begin{equation*} \vec x^{T}\cdot\vec y = |\vec x|\cdot p_{\vec y,\vec x} \end{equation*} Das Skalarprodukt ergibt sich damit aus dem Produkt der Länge von $\vec x$ mit der Projektion von $\vec y$ auf $\vec x$.
  2. Umformen der Formel liefert \begin{equation*} cos\sphericalangle(\vec x,\vec y)=\frac{\vec x^{T}\cdot\vec y}{|\vec x|\cdot|\vec y|} \end{equation*}
Dargestellt sind die zwei Vektoren $\vec x$ (grün) und $\vec y$ (blau).

Die Komponente zeigt den Zusammenhang von Vektorprodukt, Projektion und der Cosinusfunktion. Die Projektion von y auf x $p_{\vec x,\vec y}$ ist durch die rote Strecke gekennzeichnet. Sie können sowohl den Vektor $\vec x$, wie $\vec y$ verschieben, indem Sie die Spitzen der Vektoren mit der Maus ziehen.

Der Winkel $\gamma$ zwischen zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ wird bestimmt durch das Skalarprodukt relativ zum Produkt der Längen der beiden Vektoren.
Beispiele
Durch Wahl von ergeben sich in der Komponente Die Vektoren $\begin{pmatrix} -1\\ 4\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -2\\ 0,5\end{pmatrix}$ stehen senkrecht aufeinander und es gilt: \begin{equation*} (-1, 4) \begin{pmatrix} -2\\ 0,5\end{pmatrix} = 2 - 2 = 0 . \end{equation*} Durch Wahl von ergeben sich in der Komponente Dann gilt: \begin{equation*} (4, 1) \begin{pmatrix} -1\\ 4\end{pmatrix} = -4 + 4 = 0 . \end{equation*} Durch Wahl von ergeben sich in der Komponente Dann gilt: \begin{equation*} (4, 1) \begin{pmatrix} -1\\ 4\end{pmatrix} = -4 + 4 = 0 . \end{equation*}

Für den Winkel $\gamma=90°$ nimmt der Kosinus den Wert 0 an und die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Es gilt dann $\vec{x}^T \cdot \vec{y}=0$.

Definition [Orthogonalität von Vektoren]
Zwei Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y}$ heißen orthogonal (senkrecht aufeinander stehend), wenn gilt: \begin{equation*} \vec{x}^T \cdot \vec{y} = 0. \end{equation*}