\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)

Bemerkung: Im folgenden wird eine Anwendung des Skalarproduktes näher betrachtet. Im zweidimensionalen Raum $\mathbb{R}^2$ kann die Länge eines Vektors mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt werden: \begin{eqnarray*} l^2 &\!=\! &x_1^2 + x_2^2\\ l &\!=\! &\sqrt{x_1^2 + x_2^2}.\\ \end{eqnarray*}
Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Länge eines dreidimensionalen Vektors gegeben ist durch: $$l = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}.$$
Lösung
In der Abbildung ist der Vektor $\vec x$ zusammen mit den aufspannenden Komponenten $x_1$, $x_2$ und $x_3$ eingezeichnet. Die Strecken $s$, $x_1$ und $x_2$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck, die Länge von $s$ kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus den Strecken $x_1$ und $x_2$ bestimmt werden. Die Länge des Vektors $\vec x$ kann, da $s$ und $x_3$ und $\vec x$ ein rechtwinkliges Dreieck bilden wiederum mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus den Strecken $s$ und $x_3$ bestimmt werden: \begin{eqnarray*} s^2 &= &x_1^2 + x_2^2\\ \\ l^2 &= &s^2 + x_3^2\\ \\ &= &x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\\ \\ l &= &\sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}~.\\ \end{eqnarray*}

Allgemein wird die Länge eines Vektors daher wie folgt definiert:
Definition: [Länge eines Vektors]

Die Länge eines $n-$ dimensionalen Vektors $\vec{x}$ errechnet sich als: \begin{equation*} \left| \vec{x}\right| = \sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2} = \sqrt{\sum\limits^n_{i=1} x_i^2}. \end{equation*}
Die Länge eines Vektors wird auch als euklidische Norm bezeichnet und ist somit durch die Quadratwurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst bestimmbar. Der Vektor $\vec{x}$ heißt normiert, wenn $\left| \vec{x}\right| = 1$ gilt.
Beispiel

Der Vektor $\vec{x} = \begin{pmatrix} -1\\ 4\\ 5\end{pmatrix}$ hat die Länge (oder Norm) $|\vec{x}| = \sqrt{1+16+25} = \sqrt{42}$.