Beispiel
Wir betrachten eine Volkswirtschaft, in der aus zwei Rohstoffen (beispielsweise Land und Eisen) zwei Vorprodukte (z.B. Gebäude und Maschinen) hergestellt werden. Diese Maschinen und Gebäude werden genutzt, um damit zwei Konsaumgüter gewinnen zu können.
Die Produktion sei linear, kann also folgendermaßen mit Hilfe von Matrizen beschrieben werden. $$ \begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}\cr a_{21} &a_{22}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_1 \cr x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1 \cr c_2 \end{pmatrix} \qquad (*) $$ $$ \mathbf{A\cdot x} = \mathbf{c}$$ Mit Hilfe der Technologie $\mathbf{A}$ wird der Ressourcenvektor $\mathbf{x}$ in den Vorproduktvektor $\mathbf{c}$ transformiert. $$ \begin{pmatrix}b_{11} &b_{12}\cr b_{21} &b_{22}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}c_1 \cr c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d_1 \cr d_2 \end{pmatrix} \qquad (+) $$ $$ \mathbf{B\cdot c} = \mathbf{d}$$ Mit Hilfe der Technologie $\mathbf{B}$ wird der Vorproduktvektor $\mathbf{c}$ in den Kosumgütervektorvektor $\mathbf{c}$ transformiert.
Unsere Frage jetzt: Können diese beiden Transformationen gedanklich zu einer einzigen zusammengefasst werden, bzw. wie transformiert die Volkswirtschaft aus Ressourcen die Konsumgüter? Die Matrixgleichungen (*) und (+) können wir folgendermaßen als zwei Systeme von Gleichungen schreiben: $$\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2=c_1\cr a_{21}x_1 + a_{22}x_2=c_2 \end{matrix} \qquad(**) $$ $$\begin{matrix} b_{11}c_1 + b_{12}c_2=d_1\cr b_{21}c_1 + b_{22}c_2=d_2 \end{matrix} \qquad(++) $$ Setzt man nun in das System (++) für $c_1$ und $c_2$ die Werte aus dem System (**) ein, so erhält man: $$\begin{matrix} b_{11}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2) + b_{12}(a_{21}x_1 + a_{22}x_2) =d_1\cr b_{21}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2) + b_{22}(a_{21}x_1 + a_{22}x_2) =d_2 \end{matrix} \qquad $$ Ausmultiplizieren, Umstellen und Ausklammern von $x_1$ bzw. $x_2$ führt zu: führt zu $$\begin{matrix} (b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21})x_1 + (b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22})x_2 =d_1\cr (b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21})x_1 + (b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22})x_2 =d_2 \end{matrix} $$ Man erkenn, dass das der Matrixgleichung $$ \mathbf{B\cdot A\cdot x} = \mathbf{c}$$