Aufgabe

Zeigen Sie, dass die Multiplikation von quadratischen Matrizen nicht unbedingt kommutativ ist.

Lösung

Anhand eines Beispiels kann gezeigt werden, dass die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Seien zwei Matrizen $\bf X $ und $\bf Y$ gegeben, mit: $$ \mathbf{\bf X} ~:= \begin{pmatrix}0 &1\cr 0 &0 \end{pmatrix} \quad und \quad \mathbf{\bf Y} ~:= \begin{pmatrix}0 &0\cr 1 &0 \end{pmatrix}. $$ Für die die Multiplikation $\bf X \cdot \bf Y$ gilt: $$ \mathbf{\bf X\cdot Y} ~ = \begin{pmatrix}1 &0\cr 0 &0 \end{pmatrix}. $$ Für $\bf Y \cdot \bf X $ gilt hingegen: $$ \mathbf{\bf Y \cdot X} ~ = \begin{pmatrix}0 &0\cr 0 &1 \end{pmatrix}. $$ Es gilt offensichtlich, dass $\mathbf{X \cdot Y} \neq \mathbf{Y \cdot X}$.