Lösung
Anhand eines Beispiels kann gezeigt werden, dass die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Seien zwei Matrizen $\bf X $ und $\bf Y$ gegeben, mit:
$$
\mathbf{\bf X} ~:= \begin{pmatrix}0 &1\cr 0 &0 \end{pmatrix}
\quad und \quad
\mathbf{\bf Y} ~:= \begin{pmatrix}0 &0\cr 1 &0 \end{pmatrix}.
$$
Für die die Multiplikation $\bf X \cdot \bf Y$ gilt:
$$
\mathbf{\bf X\cdot Y} ~ = \begin{pmatrix}1 &0\cr 0 &0 \end{pmatrix}.
$$
Für $\bf Y \cdot \bf X $ gilt hingegen:
$$
\mathbf{\bf Y \cdot X} ~ = \begin{pmatrix}0 &0\cr 0 &1 \end{pmatrix}.
$$
Es gilt offensichtlich, dass $\mathbf{X \cdot Y} \neq \mathbf{Y \cdot X}$.