[Matrizenprodukt] Für zwei Matrizen $\rm\bf A$ und $\rm\bf B$, bei denen die Anzahl der Spalten von $\rm\bf A$ gleich der Anzahl der Zeilen von $\rm\bf B$ ist, mit \begin{equation*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} &\dots &a_{1n}\\ \vdots &&\vdots\\ a_{m1} &\dots &a_{mn} \end{pmatrix} \qquad \qquad \text {und} \qquad \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} &\dots &b_{1q}\\ \vdots &&\vdots\\ b_{n1} &\dots &b_{nq} \end{pmatrix}, \end{equation*}

wird als Produkt definiert: \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{C} \quad mit \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{equation*} \begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} &\dots &a_{1n}\\ \vdots &&\vdots\\ a_{m1} &\dots &a_{mn} \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix} b_{11} &\dots &b_{1q}\\ \vdots &&\vdots\\ b_{n1} &\dots &b_{nq} \end{pmatrix} \!=\! \begin{pmatrix} \sum\limits_{k=1}^n a_{1k} b_{k1} &\dots & \sum\limits_{k=1}^n a_{1k} b_{kq} \\ \vdots &&\vdots\\ \sum\limits_{k=1}^n a_{mk} b_{k1} &\dots &\sum\limits_{k=1}^n a_{mk} b_{kq} \end{pmatrix}. \end{equation*}
Das allgemeine Element $c_{ij}$ zweier Matrizen ergibt sich somit dadurch, dass die Elemente der Zeile i aus der Matrix ${\rm\bf A}$ mit den entsprechenden Elementen der Spalte j aus der Matrix ${\rm\bf B}$ multipliziert und die einzelnen Produkte aufsummiert werden.

Das Produkt zweier Matrizen kann auch kurz durch Benutzung allgemeiner Elemente definiert werden: \begin{equation*} {\rm\bf A \cdot B } = (a_{ij}) \cdot (b_{ij}) = c_{ij} = \left(\sum\limits_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}\right). \end{equation*} Hinweis: Das Produkt zweier beliebiger Matrizen $A$ und $B$ ist somit nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten von ${\rm\bf A}$ gleich der Anzahl der Zeilen von ${\rm\bf B}$ ist!