Gleichungssysteme können eine Vielzahl an Gleichungen und Unbekannten umfassen. Mit Hilfe der mathematischen Konzepte der Matrizen-, Vektoren- und Determinantenrechnung sowie den Methoden der linearen Algebra lassen sich beliebig große verflochtene Volks- und betriebswirtschaftliche Systeme einfacher und kompakter beschreiben und analysieren. In der Betriebswirtschaftslehre, z.B im Controlling oder im Rechnungswesen, wird häufig die Matrizenrechnung benutzt, da viele Verfahren auf der Verarbeitung von Datenblöcken beruhen. In der Volkswirtschaftslehre beruht beispielsweise die Input-Output-Analyse auf der Matrizenrechnung.

Oft werden rechteckige Zahlentabellen als Hilfsmittel genutzt, um ökonomische Sachverhalte zu beschreiben. In der Linearen Algebra werden diese Rechteckschemata als selbständige Rechenobjekte, als Matrix aufgefasst. Eine Matrix ist somit eine rechteckige Anordnung von Elementen, die eine Einheit bilden. Im Allgemeinen werden in einer Matrix reelle Zahlen dargestellt. Es ist aber auch möglich, dass die Elemente einer Matrix Funktionen oder selbst wieder Matrizen sein können (höhere Matrizenrechnung).
Definition [Matrix]

Unter einer Matrix versteht man ein rechteckiges Zahlenschema mit Zahlen aus $\mathbb{R}$. Die allgemeine Form einer Matrix ist: \begin{equation*} %\label{XYZ} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dots &a_{1j} &\dots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &\dots &a_{2j} &\dots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{i1} &a_{i2} &\dots &a_{ij} &\dots &a_{in} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{m1} &a_{m2} &\dots &a_{mj} &\dots &a_{mn} \end{pmatrix}. \end{equation*}
Eine Matrix hat m Zeilen und n Spalten, es wird auch von einer ($m,n$)-Matrix gesprochen und schreibt $\rm\bf {A_{(m,n)}}$. Mit $m$ wird die Anzahl der Zeilen und mit $n$ die Spaltenzahl bezeichnet, während $m\times n$ die Ordnung der Matrix angibt.

Das Element (die Komponente, der Koeffizient) in der Zeile $i$ und der Spalte $j$ wird notiert als $a_{ij}$. Mit $i$ wird der Zeilenindex und mit $j$ der Spaltenindex des Elementes $a_{ij}$ bezeichnet.

Matrizen werden durch große lateinische Buchstaben oder durch in geschwungene Klammern gesetzte allgemeine Elemente ($a_{ij}$) dargestellt.

Eine ($1 \times n$)-Matrix, die nur aus einer Zeile besteht wird Zeilenvektor und eine ($m \times 1$)-Matrix mit nur einer Spalte wird Spaltenvektor genannt. Dabei geben $m$ bzw. $n$ die Dimension des Vektors an.

\Randnotiz{Achtung: Preisvektoren werden später als Zeilenvektoren und trotzdem ohne T geschrieben} Vektoren werden immer durch kleine unterstrichene lateinische Buchstaben dargestellt und sind grundsätzlich immer Spaltenvektoren. Handelt es sich um einen Zeilenvektor, so wird der kleine lateinische Buchstabe mit hoch gestelltem $T$ (steht für transponiert) gekennzeichnet. Allgemein lässt sich zu einer $m \times n$-Matrix die transponierte Matrix $A^T$ konstruieren, indem die Zeilen und Spalten der Matrix $A$ vertauscht werden (Vgl.\ref{}Def. 3.5 transponierte Matrix).

Ist die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen, so wird eine $n\times n$ - Matrix als \textbf{quadratische Matrix} bezeichnet.
Beispiel

Gegeben seien die folgenden drei Matrizen $\rm\bf A$, $\rm\bf B$ und $\rm\bf C$ mit: \begin{equation*} \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} -1 & 2\\ -3 & 4\\ -5 & 6\\ -7 & 8\\ \end{pmatrix}. \end{equation*} Bei Matrix $\mathbf{A}$ handelt es sich um eine quadratische $2 \times 2$ Matrix mit den Elementen $a_{11}=1, a_{12}=2,a_{21}=3, a_{22}=4$. Die Matrix $\mathbf{B}$ ist eine $1 \times 4$ Matrix (Zeilenvektor) mit $b_{11}= 1, ..., b_{14}=-4$ und Matrix $\mathbf{C}$ stellt eine $4 \times 2$ Matrix mit $c_{11}=-1, ...,c_{41}=-7,c_{12}= 2,..., c_{42}=8$ dar. Für die quadratische Matrix $\mathbf{A}$ bilden die Elemente $a_{11}=1$ und $a_{22}=4$ die Hauptdiagonale, die nur für quadratische Matrizen definiert ist und stets von links oben nach rechts unten verläuft.

Rechnen mit Matrizen

Neben der anschaulicheren Darstellung vereinfachen Matrizen die Analyse eines ökonomischen Sachverhalts, da es geeignete Regeln für den Umgang mit Matrizen gibt, die (im gewissen Maße) mit den Regeln der herkömmlichen Algebra übereinstimmen. Für Matrizen werden folgende Operationen definiert: