Definition [Homogenes lineares Gleichungssystem]
Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn der Zielvektor
$\vec{b} = \vec{0}$.
Ein homogenes lineares Gleichungssystem
\begin{eqnarray*}a_{11}x_1 \quad + &\dots & + \quad a_{1n}x_n = 0 \cr
&\vdots& \cr
a_{n1}x_1 \quad + &\dots & + \quad a_{nn}x_n = 0\end{eqnarray*}
hat stets die Lösung $x_1 = 0, \dots , x_n=0$. Die Lösung wird
auch als triviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems
bezeichnet.
Das Gleichungssystem kann allerdings noch weitere Lösungen
besitzen. Untersuchen Sie das in der folgenden Aufgabe.
\readAufgabe{Aufgaben/HomLinGleichungssystem.aufgabe}
\readLoesung{Aufgaben/HomLinGleichungssystem.loesung}
Satz
Ein homogenes lineares Gleichungssystem ${\rm \bf A}\cdot \vec{x}
= \vec{0}$ hat neben der trivialen Lösung $\vec{x} = \vec{0}$ dann
und nur dann weitere Lösungen, wenn die Determinante von ${\rm \bf
A}$ Null ist.
Beweis:
Es sei $|{\rm \bf A}| \ne 0$. Dann sind die Spalten von ${\rm \bf
A}$ linear unabhängig. Das ist aber nach Definition gleich
bedeutend mit:
$\begin{matrix}\hbox{aus} &\vec{a}_1x_1 + \vec{a}_2x_2 +
\dots + \vec{a}_nx_n = 0\cr \hbox{folgt} &x_1 = x_2 = \dots
= x_n = 0.\cr\end{matrix}$
Also hat das Gleichungssystem nur die Lösung $\vec{x} = \vec{0}$.
Sei umgekehrt $|{\rm \bf A}| = 0$. Dann sind die Vektoren linear
abhängig. Also gibt es $x_1, \dots , x_n$, die nicht alle Null
sind mit
\begin{equation*}
\vec{a}_1x_1 \quad + \quad \dots \quad + \quad \vec{a}_nx_n =
\vec{0}.
\end{equation*}
Diese $x_i$ bilden eine nicht-triviale Lösung.