\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
Definition[Lineares Gleichungssystem]

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus einem System von $m$ linearen Gleichungen und $n$ Unbekannten: \begin{eqnarray*} a_{11}x_1 \quad + &\dots & + \quad a_{1n}x_n = b_1\\ &\vdots & \\ a_{m1}x_1 \quad + &\dots & + \quad a_{mn}x_n = b_m \end{eqnarray*} bzw. in Matrix-Schreibweise ${\rm \bf A} \cdot \vec{x} = \vec{b}$ mit: \begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{11} &\dots &a_{1n}\\ \vdots &&\vdots\\ a_{m1} &\dots &a_{mn} \end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \!=\! \begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}. \end{equation*}
Im Folgenden betrachten wir nur den Fall, dass $m=n$, also die Anzahl der Unbekannten der Anzahl der Gleichungen entspricht. Die Matrix ${\rm \bf A}$ ist dann eine quadratische Matrix.