Beispiel für ein Gleichungsystem mit unendlich vielen Lösungen
\begin{eqnarray*} 6x_{1} + 9x_{2} + 9x_{3} + 9x_{4} & = & 3\\ 2x_{1} + 1x_{2} + 5x_{3} -3x_{4} & = & 1\\ 2x_{1} + 4x_{2} +2x_{3} +6x_{4} & = & 1\\ 4x_{1} +5x_{2} +7x_{3} + 3x_{4} & = & 2 \end{eqnarray*} Die Variable $x_{1}$ wird aus den Zeilen 2-4 eliminiert. Für die Eliminierung in der zweiten und auch in der dritten Zeile wird die erste Zeile durch 3 geteilt und dann von der zweiten Zeilen und der dritten abgezogen. Analog wird die erste Zeile 2/3 multipliziert und anschließend vierten Zeile subtrahiert. Damit ist $x_{1}$ nur noch in der ersten Zeile vorhanden. \begin{eqnarray*} 6x_{1} +& 9x_{2} + 9x_{3} + 9x_{4} & = & 3\\ -&2x_{2} + 2x_{3} -6x_{4} & = & 0\\ +& 1x_{2} -1x_{3} +3x_{4} & = & 0\\ -&1x_{2} +1x_{3} - 3x_{4} & = & 0 \end{eqnarray*} Die zweite Reihe wird durch 2 geteilt und dann zur dritten addiert und von der vierten subtrahiert. Es ergibt sich: \begin{eqnarray*} 6x_{1} + &9x_{2} +& 9x_{3} + 9x_{4} & = & 3\\ - &2x_{2} +& 2x_{3} -6x_{4} & = & 0\\ & &0\cdot x_{3} +0\cdot x_{4} & = & 0\\ & & 0\cdot x_{3} + 0\cdot x_{4} & = & 0 \end{eqnarray*} Da die Aussage der letzten beiden Zeilen wahr ist (0=0), können diese Zeile nun vernachlässigt werden. Es bleiben nur die ersten zwei Zeilen. \begin{eqnarray*} 6x_{1} + &9x_{2} +& 9x_{3} + 9x_{4} & = & 3\\ - &2x_{2} +& 2x_{3} -6x_{4} & = & 0\\ \end{eqnarray*} Auflösen z.B. nach $x_1$ und $x_2$ liefert: \begin{eqnarray*} x_{1} & = & - 9/6 x_{2} - 9/6 x_{3} - 9/6x_{4}+3/6\\ x_{2} & = & x_{3} -3x_{4} \\ \end{eqnarray*} Ersetzt man in der ersten Gleichung $x_2$ durch die rechte Seite der zweiten Gleichung, so ergibt sich: \begin{eqnarray*} x_{1} & = & - 1,5 ( x_{3} -3x_{4}) - 1,5 x_{3} - 1,5x_{4}+0,5\\ x_{2} & = & x_{3} -3x_{4} \\ \end{eqnarray*} also \begin{eqnarray*} x_{1} & = & - 3 x_{3} +3x_{4} +0,5\\ x_{2} & = & x_{3} -3x_{4} \\ \end{eqnarray*} Jede beliebige Wahl von $x_3$ und $x_4$ liefert eine Lösung für das Gleichungfssystem.