Beispiel
\begin{eqnarray*} 8x_{1}+8x_{2}-2x_{3} & = & 2\\ -2x_{1}+2x_{2}+3x_{3} & = & 5\\ 4x_{1}-4x_{2}-6x_{3} & = & 10 \end{eqnarray*} Zuerst wird die $x_{1}$-Variable aus der zweiten und dritten Zeile eliminiert. \begin{eqnarray*} 8x_{1}+8x_{2}-2x_{3} & = & 2\\ 4x_{2}+3,5x_{3} & = & 4,5\\ -8x_{2}-7x_{3} & = & 9 \end{eqnarray*} Danach wird $x_{2}$ aus der dritten Zeile eliminiert und die Gleichung damit in Dreiecksform gebracht. \begin{eqnarray*} 8x_{1}+8x_{2}-2x_{3} & = & 2\\ 4x_{2}+3,5x_{3} & = & 4,5\\ 0x_{2}+ 0x_{3} & = & 18 \end{eqnarray*} Die dritte Zeile enthält eine Aussage, die falsch ist. Das lineare Gleichungssystem liefert daher keinen Lösung und wird als inkonsistent bezeichnet.