Der sogenannte Gaußsche Algorithmus ist als Verfahren für
die Auflösung von linearen Gleichungen die geläufigste Methode
innerhalb der Mathematik. Sie ist für jedes beliebige lineare
Gleichungssystem anwendbar.
Die Grundidee des Algorithmus ist, dass
das lineare Gleichungssystem so umgeformt wird, dass jeder
einzelne Zahlenwert einfach bestimmt werden kann. Durch die
einzelnen Umformungsschritte entsteht aus dem linearen
Gleichungssystem eine Dreiecksform, aus der die Zahlenwerte für
die einzelnen Variablen unmittelbar auszulesen sind.
\begin{eqnarray*}
3x_{1} + 3x_{2} +3x_{3} & = & 6 \\
1x_{1} + 3x_{2} -2 x_{3} & = & 0\\
2x_{1} + 4x_{2} -2x_{3} & = & 4
\end{eqnarray*}
Alle Zeilen unterhalb dieser in Spalte 1 auf Null bringen
\begin{eqnarray*}
3x_{1}+& 3x_{2} +3x_{3} & = & 6 \\
& 2x_{2} -3 x_{3} & = & -2\\
& 2x_{2} -4x_{3} & = & 0
\end{eqnarray*}
Maximum von Spalte 2 in Zeile 2 max=2
Alle Zeilen unterhalb dieser in Spalte 2 auf Null bringen
\begin{eqnarray*}
3x_{1} + & 3x_{2} & +3x_{3} & = & 6 \\
& 2x_{2}& -3 x_{3} & = & -2\\
& & -1x_{3} & = & 2
\end{eqnarray*}
Aus der letzten Zeile ergibt sich unmittelbar für $x_{3}$ der Wert -2.
Dieser wird nun in die zweite Zeile eingesetzt und man erhält:
\begin{eqnarray*}
2x_{2}-3\cdot (-2) & = & -2\\
2x_{2} & = & -8\\
x_{2} & = & -4\\
\end{eqnarray*}
Danach können die ermittelten Zahlenwerte in die erste Gleichung
einsetzen:
\begin{eqnarray*}
3x_{1} + 3(-4) +3(-2) & = & 6 \\
3x_{1} & = & 24\\
-1x_{3} & = & 8
\end{eqnarray*}
$ x_1=8 , x_2=-4 x_3=-2$
Die Lösung ist Gleichungssystems ist somit gegeben durch
$x_{1}=8$, $x_{2}=-4$ und $x_{3}=-2$. Das Ergebnis wurde
durch sukzessives Ausrechnen und Einsetzen ermittelt.
Ziel des
Gaußschen Algorithmus ist es, jedes Gleichungssystem in diese
Dreiecksform zu bringen. Die Methodik dafür ist die systematische
Elimination der Unbekannten aus den Gleichungen.
Elementare Zeilenoperationen
Um die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystem nicht zu
verändern, sind folgende Zeilenoperationen zulässig:
- Das Vertauschen zweier Zeilen
- Die Multiplikation einer Zeile mit einer reellen Zahl
$\mathbb{R}/\{0\}$
- Das Ersetzen einer Zeile durch die Summe aus dieser und
dem n-fachen einer anderen Zeile