1.) Beispiel Multilinearität Determinanten von $(2, 2)$-Matrizen \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \begin{vmatrix}a_{11}-x & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}-x\end{vmatrix} \end{equation*} Benutzt man die Linearität bezüglich der ersten Spalte, so erhält man \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}-x\end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} 1 & a_{12}\\ 0& a_{22}-x\end{vmatrix} \end{equation*} Benutzt man die Linearität in beiden Determinanten bezüglich der zweiten Spalte, so erhält man \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{vmatrix} -x \begin{vmatrix}a_{11} & 0 \\ a_{21}& 1\end{vmatrix} -x\left\{ \begin{vmatrix} 1 & a_{12}\\ 0& a_{22}\end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0& 1\end{vmatrix} \right\} \end{equation*} Daraus ergibt sich: \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{vmatrix} -(a_{11}+a_{22})x +x^2 \end{equation*} Man erhält somit ein Polynom vom Grad 2 \[ c_2 x^2 +c_1x +c_0\] mit den Koeffizienten \(c_1=-(a_{11}+a_{22})\) und \(c_0=|A|\).

Als nächstes wird das gleiche Problem für eine 3x3-Matrix analysiert. \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \begin{vmatrix} a_{11}-x &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22}-x &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33}-x \end{vmatrix} \end{equation*} Benutzt man die Linearität bezüglich der ersten Spalte, so erhält man \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22}-x &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33}-x \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} 1 & a_{12} &a_{13}\\ 0 &a_{22}-x &a_{23}\\ 0 &a_{32} &a_{33}-x \end{vmatrix} \end{equation*} Benutzt man die Linearität in beiden Determinanten bezüglich der zweiten Spalte, so erhält man \begin{equation*} = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33}-x \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} a_{11} &0 &a_{13}\\ a_{21} &1 &a_{23} \\ a_{31} &0 &a_{33}-x \end{vmatrix} -x \left\{ \begin{vmatrix} 1 & a_{12} &a_{13}\\ 0 &a_{22} &a_{23}\\ 0 &a_{32} &a_{33} -x \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} 1 & 0 &a_{13}\\ 0 &1 &a_{23}\\ 0 &0 &a_{33} -x \end{vmatrix} \right\} \end{equation*} Jetzt wird die dritte Spalte betrachtet: \begin{equation*} = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &0 \\ a_{21} &a_{22} &0 \\ a_{31} &a_{32} &1 \end{vmatrix} -x\left\{ \begin{vmatrix} a_{11} &0 &a_{13}\\ a_{21} &1 &a_{23} \\ a_{31} &0 &a_{33} \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} a_{11} &0 &0\\ a_{21} &1 &0 \\ a_{31} &0 &1 \end{vmatrix} \right\} -x \left\{ \begin{vmatrix} 1 & a_{12} &a_{13}\\ 0 &a_{22} &a_{23}\\ 0 &a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} 1 & a_{12} &0 \\ 0 &a_{22} &0 \\ 0 &a_{32} &1 \end{vmatrix} -x\left[ \begin{vmatrix} 1 & 0 &a_{13}\\ 0 &1 &a_{23}\\ 0 &0 &a_{33} \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{vmatrix} \right] \right\} \end{equation*} Das ergibt ein Polynom vom Grad 3, also \( c_0 +c_1x + c_2x^2 + c_3 x^3+ \). Betrachtet man nur die Koeffizienten \(c_0\), \(c_2\) und \(c_3\) so ergibt sich: \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13}\\ a_{21} &a_{22} &a_{23}\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{vmatrix} + \dots +(a_{11}+a_{22}+a_{33})x^2 +(-1)^3 x^3 \end{equation*}

Man kann diese Überlegungen für eine nxn-Matrix verallgemeinern, und erhält: \begin{equation*} \vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert = \vert \mathbf{A} \vert + \dots +(-1)^{n-1}(a_{11}+a_{22}+a_{33} \dots +a_{nn} )x^{n-1} +(-1)^n x^n \end{equation*} Gemäß der Formeln von Vieta gilt für die Nullstellen \(x_1, \dots, x_n\) eines Polynoms \[x_1+x_2+ \dots +x_{n-1}+ x_n= - \frac{a_{n-1}}{a_n}\] und \[x_1\cdot x_2\cdot\qquad \dots \qquad\cdot x_{n-1}\cdot x_n= (-1)^n \frac{a_{0}}{a_n}\] Damit ergibt sich
Die Determinante der Matrix $\mathbf{A}$ ist gleich dem Produkt der Nullstellen $x_i$ von $\vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert$.
Die Summe der Nullstellen $x_i$ von $\vert \mathbf{A} -x\cdot \mathbf{I} \vert$ ist gleich der Summe der Diagonalelemente (der Spur $\mbox{Sp}(\mathbf{A})$) von $\mathbf{A}$.