Aufgabe
Bestimmen Sie die Inverse ${\rm \bf A^{-1}}$ der folgenden Matrix
und formulieren Sie gleichzeitig eine Bedingung für die Existenz
einer solchen Inversen:
$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} &a_{12}
\\
a_{21} &a_{22}
\end{pmatrix}.$$
Wir müssen die Matrizengleichung
$$\begin{pmatrix}a_{11} &a_{12}\\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\ x_{21} &x_{22}\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}$$ lösen:
$$\begin{pmatrix}
a_{11} x_{11} + a_{12} x_{21} &&a_{11}x_{12} + a_{12}x_{22}\\
a_{21} x_{11} + a_{22} x_{21} &&a_{21} x_{12} + a_{22} x_{22}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}.$$
Die jeweils erste Spalte dieser Matrixgleichung kann auch
folgendermaßen geschrieben werden:
$$\begin{matrix}a_{11} x_{11} &+ &a_{12} x_{21} &= &1
&&(+) \\ a_{21} x_{11} &+ &a_{22} x_{21} &= &0
&&(++)\end{matrix}$$
$$\begin{matrix}(++)\Rightarrow & a_{21} x_{11} + a_{22} x_{21} &=
&0 \\
& x_{11} &= &- \frac{a_{22}}{a_{21}} x_{21} \\
\\
(+)\Rightarrow &a_{11} (- \frac{a_{22}}{a_{21}}x_{21}) +
a_{12} x_{21} &= &1 \qquad\qquad / \cdot a_{21} \\
\\
& ( -a_{11} a_{22} + a_{21} a_{12}) x_{21} &=
&a_{21} \\
\\
& x_{21} &= &\frac{-a_{21}}{ |{\rm \bf A}|} \\
\\
(++)\Rightarrow & a_{21} x_{11} + a_{22}
\frac{-a_{21}}{|{\rm \bf A}|} &= &0 \\
\\
& x_{11} &= &\frac{a_{22}}{|{\rm \bf
A}|}\end{matrix}$$
Ebenso ergeben sich $x_{12}$ und $x_{22}$ entsprechend aus der jeweiligen zweiten Spalte der Matrixgleichung:
$$\begin{matrix}a_{11} x_{12} &+ &a_{12} x_{22} &= &0 \\
a_{21} x_{12} &+ &a_{22} x_{22} &= &1\end{matrix}$$
$$\begin{matrix}x_{12} &= &\frac{-a_{12}}{|{\rm \bf A}|}\\
\\
x_{22} &= &\frac{a_{11}}{|{\rm \bf A}|}\end{matrix}$$
Als Inverse ergibt sich damit
$$ A^{-1} = \frac{1}{ |{\rm \bf A}|} \begin{pmatrix}
a_{22} &-a_{12}\\
-a_{21} &a_{11} \end{pmatrix}$$
Diese Lösung existiert allerdings
nur dann, wenn gilt: $|{\rm \bf A}| \ne 0$.
Satz [Existenz der Inversen]
Es sei ${\rm \bf A}$ eine quadratische Matrix und $|{\rm \bf A}|
\ne 0$. Dann existiert die inverse Matrix ${\rm \bf A^{-1}}$.
Eine Matrix, zu der eine Inverse existiert, heißt
regulär. Eine Matrix ist regulär, wenn
\begin{equation*}
|{\rm \bf A}| \ne 0
\end{equation*}
bzw. wenn die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) unabhängig sind.
Definition [Adjungierte]
Die Adjungierte ${\rm \bf A}_{adj}$ zur quadratischen Matrix ${\rm
\bf A}$ ist folgende Matrix der Adjunkten / Kofaktoren:
\begin{equation*}
{\rm \bf A}_{adj} = \begin{pmatrix}
A_{11} &\dots &A_{n1}\cr \vdots &&\vdots\cr A_{1n} &\dots
&A_{nn}\end{pmatrix}
\end{equation*}
Man beachte, dass es sich bei der Adjungierten um die
transponierte Matrix der Adjunkten / Kofaktoren handelt (vgl.
Ohse:1995 S.285):
Satz
Sei ${\rm \bf A}$ eine quadratische Matrix mit $|{\rm \bf A|} \neq
0$. Die Inverse ${\rm \bf A}^{-1}$ lässt sich mit Hilfe der
Adjungierten ${\rm \bf A}_{adj}$ berechnen und ist gegeben durch:
\begin{equation*}
{\rm \bf A^{-1}} = {1\over |{\rm \bf A}|} \cdot {\rm \bf A}_{adj}.
\end{equation*}