${\rm \bf A}$ sei eine quadratische Matrix. Dann gilt
\begin{equation*}
\det(\mathbf{A}) = \vert \mathbf{A} \vert
=
\sum\limits_{P(j)} (-1)^{I(j)} \cdot a_{1j_1} \ \cdot
a_{2j_2}\cdot \ldots \cdot a_{nj_n}
\end{equation*}
wobei über alle möglichen Permutationen der Zahlen 1 bis
$n$
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
P(j) = (j_1, \dots , j_n)
\end{equation*}
summiert wird und $I(j)$ die Anzahl der Inversionen der
$j$-ten Permutation ist.
1.) Berechnung der Determinanten von $(2, 2)$-Matrizen
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
\det(\mathbf{A}) = \vert \mathbf{A} \vert =
\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{vmatrix}
= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}.
\end{equation*}
Bestimmung der Determinante einer $(2, 2)$-Matrix.
\begin{equation*}
\det(\mathbf{A}) = \vert \mathbf{A} \vert =
\begin{vmatrix}
3 & 2\\
3 & 5\\
\end{vmatrix}
= +(3\cdot 5) - (3\cdot2) = 9.
\end{equation*}
2.) Berechnung der Determinanten von 3 $\times$ 3 Matrizen (Regel von Sarrus)
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13}\\
a_{21} &a_{22} &a_{23}\\
a_{31} &a_{32} &a_{33}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13}\\
a_{21} &a_{22} &a_{23}\\
a_{31} &a_{32} &a_{33}
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
a_{11} &a_{12} \\
a_{21} &a_{22} \\
a_{31} &a_{32}
\end{matrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
\begin{matrix}=
&a_{11} a_{22} a_{33} &+ &a_{12} a_{23} a_{31} &+ &a_{13} a_{21} a_{32}\\
- &a_{13} a_{22} a_{31} &- &a_{11} a_{23} a_{32} &- & a_{12}
a_{21} a_{33}.
\end{matrix}
\end{equation*}
Die farblich gekennzeichnete Darstellung deutet dabei an, dass bei
der Regel von Sarrus die ersten beiden Spalten der Determinanten
zusätzlich rechts neben der Determinanten notiert werden. Dann
werden jeweils die Produkte der blau gekennzeichneten Diagonalen
addiert und davon die Produkte der rot gekennzeichneten Diagonalen
subtrahiert.
Berechnung der Determinanten einer 3 $\times$ 3 Matrizen mit der
Regel von Sarrus:
\begin{equation*}
\vert \mathbf{A} \vert =
\begin{vmatrix}
3 & 0 & 2\\
3 & 1 & 5\\
3 & 2 & 0\\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
3 &0 &2\\
3 &1 &5\\
3 &2 &0
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
3 & 0 \\
3 & 1 \\
3 & 2
\end{matrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{matrix}=
&3\cdot 1\cdot 0 &+ &0\cdot 5\cdot 3 &+ &2\cdot 3\cdot 2\\
- &3\cdot 1\cdot 2 &- &2\cdot 5\cdot 3 &- &0\cdot 3\cdot 0
\end{matrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
=0 + 0 + 2\cdot 3\cdot 2 - 3\cdot 1\cdot 2 - 2\cdot 5\cdot 3 - 0 =
-24.
\end{equation*}
3.)Entwicklung einer Determinante nach einer Zeile bzw.
Spalte.\\
Laut der Linearitätseigenschaft, wird durch die Addition einer
beliebigen Linearkombination von Spalten zu einer anderen Spalte
der Wert der Determinanten nicht geändert. Entsprechendes gilt für
die Zeilenoperationen einer Matrix.
Diese Eigenschaft kann zur Berechnung von Determinanten in
der Entwicklung nach einer Zeile bzw. Spalte genutzt werden. Das
Vorgehen dabei wird im Folgenden erläutert.
[Minor, Adjunkte]\label{def:adjunkte}
~
${\rm \bf A}$ sei eine quadratische Matrix. Der Minor von ${\rm \bf A}$
ist dann
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
\begin{vmatrix}
a_{1 1} &\ldots &a_{1 j-1} &a_{1 j+1} &\ldots &a_{1 n}\\
&&\vdots &\vdots \\
a_{i-1 1} &\ldots &a_{i-1 j-1} &a_{i-1 j+1} &\ldots &a_{i-1 n}\\
a_{i+1 1} &\ldots &a_{i+1 j-1} &a_{i+1 j+1} &\ldots &a_{i+1 n}\\
&&\vdots &\vdots \\
a_{n 1} &\ldots &a_{n j-1} &a_{n j+1} &\ldots &a_{n
n}\end{vmatrix}
\end{equation*}
Der Minor ist also eine Determinante der Matrix, die durch
Streichen der Zeile $i$ und Spalte $j$ entsteht.
Die Adjunkte $A_{ij}$ ist dann
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
A_{ij} = (-1)^{i+j} \begin{vmatrix}
a_{1 1} &\ldots &a_{1 j-1} &a_{1 j+1} &\ldots &a_{1 n}\\
&&\vdots &\vdots \\
a_{i-1 1} &\ldots &a_{i-1 j-1} &a_{i-1 j+1} &\ldots &a_{i-1 n}\\
a_{i+1 1} &\ldots &a_{i+1 j-1} &a_{i+1 j+1} &\ldots &a_{i+1 n}\\
&&\vdots &\vdots \\
a_{n 1} &\ldots &a_{n j-1} &a_{n j+1} &\ldots &a_{n
n}\end{vmatrix}
\end{equation*}
Die Adjunkte ist also eine Determinante, die aus dem Minor
entsteht, indem mit $(-1)^{i+j}$ multipliziert wird. Die Adjunkte
wird auch als Kofaktor bezeichnet.
Bemerkung: Die Vorzeichen $(-1)^{i+j}$ der einzelnen Adjunkten $A_{ij}$
bilden dabei eine Art Schachbrett:
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
\begin{vmatrix}
+ &- &+ &&&&& \\
- &+ &- &&&&& \\
+ &- &+ &&&&& \\
&&&&&&&
\end{vmatrix}
\end{equation*}
a) Entwicklung nach der k-ten Zeile.
Die Entwicklung der Determinanten einer quadratischen Matrix
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} &\dots &a_{1m}\\
a_{21} &\dots &a_{2m}\\
\vdots &&\vdots\\
a_{m1} &\dots &a_{mm}\end{pmatrix}
\end{equation*}
nach der i-ten Zeile ist definiert als
\begin{eqnarray*}
%\label{XYZ}
|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \ldots + a_{im}A_{im}\\
= \sum\limits_{k=1}^m a_{ik} {\rm \bf A_{ik}}.
\end{eqnarray*}
Die folgende Determinante wird nach der 3. Zeile entwickelt:
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
A =
\begin{vmatrix}
3 & 0 & 2\\
3 & 1 & 5\\
3 & 2 & 0\\
\end{vmatrix}
=
+3\cdot\begin{vmatrix}
0 & 2\\
1 & 5\\
\end{vmatrix}
-2\cdot
\begin{vmatrix}
3 & 2\\
3 & 5\\
\end{vmatrix}
+0\cdot
\begin{vmatrix}
3 & 0\\
3 & 1\\
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
= +3\cdot(0\cdot 5 - 1\cdot2 ) -2\cdot(3\cdot 5 - 3 \cdot 2) =
-24.
\end{equation*}
Man beachte, dass es in der Regel günstig ist, nach einer Zeile zu entwickeln, die möglichst viele Nullen enthält.
Entwickelt man z.B. nach der ersten Zeile, so ergibt sich
$$\begin{vmatrix}
a_{11} &&a_{1m}\\
\cr a_{m_1} &&a_{mm}
\end{vmatrix} = \begin{cases}\begin{matrix}
\hbox{für} \quad gerade\quad m&: a_{11} A_{11} & - &a_{12} A_{12}
&+ &a_{13} A_{13} &\ldots &- &a_{1m} A_{1m}\\
\hbox{für}\quad ungerade\quad m&: a_{11} A_{11} & - &a_{12} A_{12}
&+ &a_{13} A_{13} &\ldots &+ &a_{1m} A_{1m}
\end{matrix}\end{cases}
$$
Analog erfolgt die Definition der Entwicklung einer Determinante
nach der j-ten Spalte.
b) Entwicklung nach der j-ten Spalte
Die Entwicklung der Determinanten einer quadratischen Matrix
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} &\dots &a_{1m}\\
a_{21} &\dots &a_{2m}\\
\vdots &&\vdots\\
a_{m1} &\dots &a_{mm}\end{pmatrix}
\end{equation*}
nach der j-ten Spalte ist definiert als
\begin{eqnarray*}
%\label{XYZ}
|A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \ldots + a_{mj}A_{mj}
\\
= \sum\limits_{k=1}^m a_{kj} {\rm \bf A_{kj}}.
\end{eqnarray*}
wobei $A_{kj}$ die Determinante derjenigen Matrix ist, welche aus
${\rm \bf A}$ durch Streichen der k-ten Zeile und j-ten Spalte
entsteht.
Die vorstehend schon berechnete Determinante wird nach der 2. Spalte entwickelt:
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
A =
\begin{vmatrix}
3 & 0 & 2\\
3 & 1 & 5\\
3 & 2 & 0\\
\end{vmatrix}
=
-0\cdot\begin{vmatrix}
3 & 5\\
3 & 0\\
\end{vmatrix}
+1\cdot
\begin{vmatrix}
3 & 2\\
3 & 0\\
\end{vmatrix}
-2\cdot
\begin{vmatrix}
3 & 2\\
3 & 5\\
\end{vmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
= +1\cdot(3\cdot 0 - 2\cdot3 ) -2\cdot(3\cdot 5 - 3 \cdot 2) =
-24.
\end{equation*}
Das Ergebnis entspricht selbstverständlich dem vorstehend nach der
2. Zeile entwickelten Ergebnis.
Man beachte wiederum, dass es in der Regel günstig ist, nach einer
Spalte zu entwickeln, die möglichst viele Nullen enthält.
Entwicklung einer Matrix nach Zeilen und Spalten.
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
A =
\begin{vmatrix}
1 &5 &7 &3\\
0 &7 &0 &2\\
1 &2 &0 &5\\
0 &1 &7 &7\end{vmatrix}= 1 \begin{vmatrix}
7 &0 &2\\
2 &0 &5\\
1 &7 &7\end{vmatrix}- 0 \begin{vmatrix}
5 &7 &3\\
2 &0 &5\\
1 &7 &7\end{vmatrix}+ 1 \begin{vmatrix}
5 &7 &3\\
7 &0 &2\\
1 &7 &7\end{vmatrix}- 0 \begin{vmatrix}
5 &7 &3\\
7 &0 &2\\
2 &0 &5\end{vmatrix}=
\end{equation*}
\begin{equation*}
1 \cdot (-7)\begin{vmatrix}7 &2\\ 2 &5\end{vmatrix} + 1 \left(-7
\begin{vmatrix}7 &2\\ 1 &7 \end{vmatrix}- 7 \begin{vmatrix}5 &3\\ 7
&2\end{vmatrix}\right)=
\end{equation*}
\begin{equation*}
%\label{XYZ}
-7\cdot 31 + (-7\cdot 47 + 7\cdot 11) = -469.
\end{equation*}
Hier wurde zunächst nach der ersten Spalte entwickelt. Im
zweiten Schritt wurden die erste Matrix und die dritte Matrix
jeweils nach ihrer zweiten Spalte entwickelt.