\( \def\vec#1{\bf{\underline{#1}}} \)
[Determinante] Eine Determinante ist die Zuordnung einer Zahl zu einer quadratischen Matrix $\vert {\rm \bf A}\vert$

mit folgenden Eigenschaften: 1. Normierung \begin{eqnarray*} \vert {\rm \bf I} \vert &= &1 \\ \vert {\rm \bf 0} \vert &= &0 .\\ \end{eqnarray*}

2. Linearität Wird zu einer Spalte (Zeile) die Linearkombination anderer Spalten (Zeilen) addiert, so verändert sich die Determinante nicht. Wird insbesondere das Vielfache einer Spalte zu einer anderen Spalte addiert, so ändert sich der Wert der Determinanten nicht. \begin{eqnarray*} det\left( \vec{a}_1 \ \dots \ \vec{a}_j \ \dots \ \vec{a}_n\right) = det \left(\vec{a}_1 \ \dots \ \vec{a}_j + k\cdot \vec{a}_i \ \dots \ \vec{a}_n \right) \\ \quad\hbox{mit}\quad i=1, \dots, n \quad\hbox{und}\quad i\ne j. \end{eqnarray*}

3. Schiefsymmetrie Vertauschen zweier Spalten (Zeilen) führt zu einem Vorzeichenwechsel der Determinante. \begin{equation*} det\left( \vec{a}_1 \ \dots \ \vec{a}_i \ \dots \ \vec{a}_j \ \dots \ \vec{a}_n \right) = - det \left(\vec{a}_1 \ \dots \ \vec{a}_j \ \dots \ \vec{a}_i \ \dots \ \vec{a}_n \right). \end{equation*}
Aus Eigenschaft 3 folgt sofort, dass eine Determinante, die zwei gleiche Spalten enthält, Null ist. Sind nämlich die Spalten $\vec{a}_i$ und $\vec{a}_j$ gleich, dann gilt: \begin{equation*} det\left( \vec{a}_1 \ \dots \ \vec{a}_i \ \dots \ \vec{a}_j \ \dots \ \vec{a}_n \right) = - det \left(\vec{a}_1 \ \dots \ \vec{a}_j \ \dots \ \vec{a}_i \ \dots \ \vec{a}_n \right) \end{equation*} also \begin{equation*} 2\cdot det\left( \vec{a}_1 \ \dots \ \vec{a}_i \ \dots \ \vec{a}_j \ \dots \ \vec{a}_n \right) = 0. \end{equation*} Das zuvor hergeleitete Ergebnis kann folgendermaßen erweitert werden:
Satz [Lineare Abhängigkeit]
Eine Determinante hat genau dann den Wert Null, wenn die Spaltenvektoren (bzw. Zeilenvektoren) linear abhängig sind.