Wir beweisen die Aussage wider mit Hilfe des Umhüllenden-Theorems Die zum Minimierungsproblem gehörige Lagrangefunktion lautet: $$L(\vec{x}, \lambda ) = \vec{p} \cdot \vec{x} + \lambda (\overline{u}- u(\vec{x}))$$ Die optimalen Werte $\vec{x}^*$ und $\lambda^*$ sind von $\vec{p} \text{ und } \overline{u}$ abhängig, also: $$ \vec{x}^*=\vec{x}^*(\vec{p},\overline{u})\quad \text{(Hickssche Nachfrage) ~ ~und }\quad \lambda^*=\lambda^*(\vec{p},\overline{u}) $$ Somit $$L^* = L\left(\vec{x}^*(\vec{p}, \overline{u}), \lambda^*(\vec{p}, \overline{u})\right) = L^*(\vec{p}, \overline{u})$$ wobei $$L^*(\vec{p}, \overline{u}) = \vec{p} \vec{x}^*(\vec{p}, \overline{u}) =: e(\vec{p}, \overline{u}) \text{ Ausgabenfunktion}$$ Untersucht werden soll die Auswirkung einer marginalen Änderung des Preises des Gutes $i$. Es ist also die Ableitung der Lagrangefunktion nach $p_i$ zu betrachten, wobei wegen des Umhüllendentheorems die indirekten Effekte vernachlässigt werden können: $${\partial L^*\over \partial p_i} = {\partial e(\vec{p}, \overline{u})\over \partial p_i} = x_i \quad \hbox{(Shepards Lemma)}$$ $$\left(\hbox{da} \quad \vec{p} \cdot \vec{x} = \sum\limits_{j=1}^n p_jx_j\right)$$ Als Ergebnis erhält man, dass die Ableitung der Ausgabenfunktion $e$ nach dem Preis des $i$-ten Gutes die nachgefragte Menge dieses Gutes ergibt.