Satz
Roys Identität
Es gilt
$$x_j(\vec{p}, I) = - \displaystyle{ {{\partial v(\vec{p},I)\over
\partial p_j}}\above 1pt
{\partial v(\vec{p},I)\over \partial I}}$$
Beweis mit Umhüllendentheorem
Wir gehen wieder vom primalen Problem und damit von der Beziehung (*) aus dem letzten Beweis aus
\begin{eqnarray*}
L^*(\vec{p}, I) &= u(\vec{x}^*(\vec{p}, I)) =: v(\vec{p}, I) &(*)
\end{eqnarray*}
Durch Ableiten von (*) nach $p_i$ ergibt sich
\begin{eqnarray*}
{\partial L^*\over \partial p_i} = {\partial v(\vec{p}, I)\over \partial p_i}
&= {\partial \left( u(\vec{x}^*) + \lambda^*(I -\vec{p} \cdot
\vec{x}^*)\right)\over \partial p_i}
= - \lambda^*x_i^* &(***)\cr
\end{eqnarray*}
(da $\vec{p} \cdot \vec{x}^* = p_1x_1^* + p_2x_2^* + \dots + p_nx_n^*$)
Aus (**) und (***) ergibt sich
$$- {{\partial v(\vec{p}, I)\over \partial p_i}\over {\partial v\over \partial I}} = x_i^* = x_i (\vec{p}, I)$$
Aufgabe
Gehen Sie von der indirekten Nutzenfunktion der
Cobb-Douglas-Nutzenfunktion aus und bestimmen Sie die
Marshallschen Nachfragefunktion.
Hinweis 1:
Die indirekte Nutzenfunktion der Cobb-Douglas Nutzenfunktion ist
$$
v(\vec{p}, I) = \displaystyle\frac{a_1^{a_1} \ a_2^{a_2}}{
p_1^{a_1} \ p_2^{a_2}} \cdot I
$$
Hinweis 2:
Benutzen Sie das Theorem von Roy.\EndeAufgabe
Loesung
Wir benutzen die Identität von Roy, also
$$x_i(\vec{p}, I) = - {\partial v / \partial p_i\over \partial v / \partial I}$$
zur Bestimmung der Marshallschen Nachfragefunktion.
Die indirekte Nutzenfunktion der Cobb-Douglas Nutzenfunktion ist
$$
v(\vec{p}, I) = \displaystyle\frac{a_1^{a_1} \ a_2^{a_2}}{ p_1^{a_1} \ p_2^{a_2}} \cdot I
$$
Daraus ergibt sich:
$$\begin{matrix}
x_i (\vec{p}, I) &= &- \displaystyle{-\displaystyle{a_i
a_1^{a_1}a_2^{a_2}\over p_ip_1^{a_1}p_2^{a_2}} \cdot I\over
\displaystyle{a_1^{a_1} a_2^{a_2}\over p_1^{a_1} p_2^{a_2}}}\cr
\cr &= &\displaystyle{a_i \cdot I\over p_i}\cr
\end{matrix}$$