Als nächstes betrachten wir die aus dem primalen Problem   $u(\vec{x}) \rightarrow \max$     mit     $\vec{p} \cdot \vec{x} = I$ gewonnene Lagrangefunktion $$L(\vec{x},\lambda ) = u(\vec{x}) +\lambda (I -\vec{p}\cdot \vec{x})$$ Die notwendige Bedingung für ein Optimum ist: $${\partial u\over \partial x_i} - \lambda p_i = 0 \qquad \mbox{ also }\qquad {\partial u\over \partial x_i} = \lambda p_i$$
Satz

Der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ ist gleich dem Grenznutzen des Einkommens.

Beweis: Die Aussage wurde bei der Einführung des Lagrangeverfahrens mit Hilfe des Umhüllendentheorems gezeigt. Hier eine kurze Wiederholung: Zum Maximierungsproblem betrachten wir die zugehörige Lagrangefunktion $$L(\vec x,\lambda)= u(\vec x)+\lambda(I-\vec p \vec x)$$ Der Wert $L^*$ dieser Lagrangefunktion im Optimum hängt von I und $\vec p$ ab: \begin{eqnarray*} L^*(\vec{p}, I) &= u(\vec{x}^*(\vec{p}, I)) =: v(\vec{p}, I) &(*) \end{eqnarray*} Wir leiten nach $I$ ab und bedenken, dass wegen des Umhüllendentheorems die indirekten Effekte vernachlässigt werden können: \begin{eqnarray*} {\partial L^*\over \partial I} &= \underbrace{{\partial v(\vec{p}, I)\over \partial I}} _{\hbox{$\vcenter{\hbox{ Grenznutzen des Einkommens}}$}} = {\partial \left(u(\vec{x}^*) + \lambda^*(I - \vec{p} \cdot \vec{x}^*)\right)\over \partial I} = \underbrace{\lambda^*}_{\hbox{ Lagrangefaktor }} &(**) \end{eqnarray*}