Wir wollen einige wichtige Identitäten ableiten. Dazu gehen wir davon aus, dass das primale und das duale Problem entsprechend verknüpft sind. Dann ergibt sich für das primale Problem: $$v(\vec{p},I) = \max u(\vec{x}) = u( \underbrace{\vec{x}^*}_{\vec{x}^M(\vec p,I)})\buildrel \rm def \over = u \qquad \qquad {(*)}$$ und für das duale Problem: $$e(\vec{p},u)=\min \vec{p}\cdot \vec{x}= \vec{p}\cdot\underbrace{\vec{x}^*}_{\vec{x}^H(\vec p,u)}\buildrel \rm def \over =I \qquad \qquad {(**)}$$ Nutzt man die Beziehung (**) und substituiert darin u durch die Beziehung (*) so ergibt sich unmittelbar die Identitätsgleichung: $$ e(\vec{p}, v(\vec{p}, I)) = I \qquad \qquad {(1)}$$ Nutzt man die Beziehung (*) und substituiert darin I durch die Beziehung (**) so ergibt sich unmittelbar die Identitätsgleichung: $$v(\vec{p}, e(\vec{p}, u)) = u(\vec{x}) \qquad \qquad (2)$$ Es sei $\vec{x}^* = \vec{x}^M(\vec{p}, I)$ die Lösung des primalen Problems und gilt $$v(\vec{p}, I) = \max u(\vec{x}) = u (\vec{x}^*)$$ Dann ist $\vec{x}^*$ Lösung des dualen Problems. Die Lösung dieses dualen Problems wurde als Ausgabenfunktion $$\vec{x}^* = \vec{x}^H(\vec{p}, \hat{u}) = \vec{x}^H(\vec{p}, v(\vec{p},I))$$ eingeführt. Also ergibt sich $$\vec{x}^M(\vec{p}, I) = \vec{x}^H (\vec{p}, v(\vec{p}, I)) \qquad \qquad (3)$$ Es sei $\vec{x}^* = \vec{x}^H(\vec{p}, u)$ sei Lösung des dualen Problems und gilt $$e(\vec{p}, u) = \vec{p} \cdot \vec{x}^* = I$$ Dann ist $\vec{x}^*$ die Lösung des primalen Problems. Die Lösung dieses primalen Problems wurde als indirekte Nachfragefunktion $$\vec{x}^* = \vec{x}^M(\vec{p}, I) = \vec{x}^M(\vec{p}, e(\vec{p}, u))$$ eingeführt. Somit ergibt sich $$\vec{x}^H(\vec{p}, u) = \vec{x}^M (\vec{p}, e (\vec{p}, u)) \qquad \qquad (4)$$
Aufgabe

Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Identitäten und interpretieren Sie diese: $$v(\vec{p},I)=u(\vec{x}^M(\vec{p},I)) \qquad (+)$$ $$e(\vec{p},u)=\vec{p}\cdot \vec{x}^H(\vec{p},u) \qquad (++)$$ $$e(\vec{p},v(\vec{p},I))=I \qquad (1)$$ $$u(\vec{x})=v(\vec{p},e(\vec{p},u)) \qquad (2)$$ $$\vec{x}^M(\vec{p},I)=\vec{x}^H(\vec{p},v(\vec{p},I)) \qquad (3)$$ $$\vec{x}^H(\vec{p},u)=\vec{x}^M(\vec{p},e(\vec{p},u)) \qquad (4)$$

lösung

  1. Sei $\vec{x}^*$ Lösung des primalen Problems, also $$v(\vec{p},I)=\max u(\vec{x})= u(\vec{x}^*)$$ Da das optimale Bündel $x^*$ gleich der Marshallschen Nachfragefunktion ist, also $$\vec{x}^* = \vec{x}^{\hbox{ M}} (\vec{p},I)$$ gilt die Identitätsgleichung $$ v(\vec{p}, I) = u(\vec{x}^{\hbox{ M}} (\vec{p}, I)) (+)$$ \medskip
  2. Die nächsten Beziehungen erfassen jeweils Zusammenhänge, zwischen primalem und dualem Problem.
      \begin{enumerate}
    1. Sei $\vec{x}^*$ Lösung des primalen Problems, also $$v(\vec{p},I) = \max u(\vec{x}) = u(\vec{x}^*)$$ und sei $$u=u(\vec{x}^*)$$ Dann ist $x^*$ Lösung des dualen Problems, also $$e(\vec{p},u) = \min \vec{p} x = \vec{p} x^* = I$$ Damit gilt die Identitätsgleichung $$ e(\vec{p}, v(\vec{p}, I) = I \eqno{(1)}$$ \medskip
    2. Sei $\vec{x}^*$ Lösung des dualen Problems, also $$e(\vec{p}, u) = \min \vec{p} \vec{x} = \vec{p} \vec{x}^*$$ und sei $$I:= \vec{p} \vec{x}^* = e(\vec{p}, u)$$ dann ist $\vec{x}^*$ Lösung des primalen Problems, also $$u(\vec{x}^*) = \max u(\vec{x}) = v(\vec{p}, e(\vec{p}, u))$$ Damit gilt die Identitätsgleichung $$ u(\vec{x}) = v(\vec{p}, e(\vec{p}, u)) (2)$$ \
    3. Es sei $\vec{x}^*$ Lösung des primalen Systems, also $$\vec{x}^* = \vec{x}^{\hbox{ M}} (\vec{p}, I)$$ und es gelte $$u=v(\vec{p}, I)$$ Dann ist $\vec{x}^*$ Lösung des dualen Problems, also $$\vec{x}^* = \vec{x}^{\hbox{ M}} (\vec{p}, u)$$ Somit $$ \vec{x}^{\hbox{ M}}(\vec{p}, I) = \vec{x}^{\hbox{ H}} (\vec{p}, v(\vec{p}, I)) (3)$$
    4. Es sei $\vec{x}^*$ Lösung des dualen Problems, also $$\vec{x}^* = \vec{x}^{\hbox{ H}} (\vec{p}, u)$$ und es sei $$I:= e(\vec{p}, u)$$ Dann ist $\vec{x}^*$ Lösung des primalen Problems, also $$\vec{x}^* = \vec{x}^{\hbox{ M}}(\vec{p}, I)$$
    Somit $$ \vec{x}^{\hbox{ H}} (\vec{p}, u) = \vec{x}^{\hbox{ M}} (\vec{p}, e(\vec{p}, u)) (4)$$